(a) Mostre que a série \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n}} converge.
(b) Estime o valor para o qual a série acima converge com erro menor ou igual a \frac{1}{2}. Deixe somas indicadas.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  1. (a) Mostrar que a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n}} converge.
  2. (b) Estimar o valor para o qual a série converge com erro menor ou igual a \displaystyle \frac{1}{2}. Deixar as somas indicadas.
Informações dadas no enunciado:
\displaystyle a série é \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n}}.
Nada mais é fornecido; a tarefa é usar propriedades de séries alternadas e estimar o número de termos necessários para garantir erro \le \tfrac{1}{2}.

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta central (explicada em palavras simples): o teste das séries alternadas (teste de Leibniz). Ele diz o seguinte (vou escrever e explicar cada parte):
\text{Se }(a_n)_{n\ge1}\text{ é uma sequência positiva com }a_{n+1}\le a_n\text{ (monótona decrescente) e }\lim_{n\to\infty} a_n=0,éêó
então a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n
converge.
Explicando: aqui a_n são os módulos dos termos (sempre positivos). A condição de decrescimento garante que os “oscilações” diminuem, e \lim a_n=0 é necessária para que os termos vão para zero — se não for zero, a série não pode convergir. Esse teste dá convergência, possivelmente condicional (não necessariamente absoluta).

Passo 3

Aplicando o teste ao nosso caso: tome
a_n=\frac{1}{\sqrt[3]{n}}=\;n^{-1/3}.
  1. Positividade: claramente a_n>0 para todo n.
  2. Limite: \displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\lim_{n\to\infty} n^{-1/3}=0, porque potência negativa de n tende a zero quando o expoente é maior que zero.
  3. Monotonicidade: considere a função f(x)=x^{-1/3} para x>0. Calculamos a derivada:
f'(x)=-\frac{1}{3}x^{-4/3}<0\quad\text{para todo }x>0.
Como a derivada é negativa, f é decrescente em (0,\infty). Portanto a sequência a_n=f(n) é decrescente: a_{n+1}\le a_n.
Como a_n>0, a_n é decrescente e \lim a_n=0, pelo teste das séries alternadas a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}}
converge.

Passo 4

É útil saber se a convergência é absoluta ou condicional. Para isso olhamos a série dos módulos:
\sum_{n=1}^{\infty} \left|\frac{(-1)^n}{\sqrt[3]{n}}\right| = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt[3]{n}}=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-1/3}.
Isto é uma série-p com expoente p=\tfrac{1}{3}. Lembrando o critério da série-p: \sum n^{-p} converge se, e só se, p>1. Aqui p=\tfrac{1}{3}\le1, logo a série dos módulos diverge. Portanto a convergência obtida no passo anterior é condicional (converge, mas não absolutamente).

Passo 5

Agora a estimativa do erro para séries alternadas: se S é a soma infinita e S_N=\sum_{n=1}^{N} (-1)^n a_n é a soma parcial, o resto é R_N=S-S_N. O teste de Leibniz também garante a estimativa de erro simples e muito útil:
|R_N| \le a_{N+1}.
Além disso, o sinal de R_N é o mesmo do próximo termo (-1)^{N+1} a_{N+1}; isto permite construir limites unilaterais (por exemplo S_N \le S \le S_N + a_{N+1} se o termo N+1 for positivo). Intuição curta: como os a_n decrescem, os somatórios parciais formam uma sequência que oscila e vai “apertando” em torno do valor limite, ficando sempre dentro de uma amplitude dada pelo próximo módulo a_{N+1}.

Passo 6

Queremos um N tal que o erro ao usar S_N seja \le \tfrac{1}{2}. Pelo resultado anterior basta escolher N com
a_{N+1}=\frac{1}{\sqrt[3]{N+1}}\le \frac{1}{2}.
Resolve-se a desigualdade:
\frac{1}{\sqrt[3]{N+1}}\le \frac{1}{2} \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt[3]{N+1}\ge 2 \quad\Longleftrightarrow\quad N+1\ge 8 \quad\Longleftrightarrow\quad N\ge 7.
Portanto qualquer N\ge 7 funciona. O menor inteiro N que satisfaz é N=7.

Passo 7

Então uma estimativa com erro \le \tfrac{1}{2} é tomar a soma parcial com N=7:
S_7=\sum_{n=1}^{7}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n}} = -\frac{1}{\sqrt[3]{1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{4}}-\frac{1}{\sqrt[3]{5}}+\frac{1}{\sqrt[3]{6}}-\frac{1}{\sqrt[3]{7}}.
Pelo argumento do passo anterior, o erro satisfaça |S-S_7|\le a_8=\tfrac{1}{\sqrt[3]{8}}=\tfrac{1}{2}. Como o termo de índice 8 é positivo (porque (-1)^8=+1), sabemos também que
S_7 \le S \le S_7 + \frac{1}{2}.
Observação prática: qualquer N\ge7 dá erro \le\tfrac{1}{2}; escolhemos N=7 por ser o menor.

Resposta

(a) A série converge (condicionalmente).
(b) Uma estimativa com erro \le \tfrac{1}{2} é
S\approx S_7=\sum_{n=1}^{7}\frac{(-1)^{n}}{\sqrt[3]{n}}=-\frac{1}{\sqrt[3]{1}}+\frac{1}{\sqrt[3]{2}}-\frac{1}{\sqrt[3]{3}}+\frac{1}{\sqrt[3]{4}}-\frac{1}{\sqrt[3]{5}}+\frac{1}{\sqrt[3]{6}}-\frac{1}{\sqrt[3]{7}},
com S_7 \le S \le S_7+\frac{1}{2}.

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