Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem justificando suas afirmações:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}+4\right)}{5 n^{2}+3}

Passo 1

O enunciado fornece a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}+4\right)}{5 n^{2}+3}
Pergunta: verificar se essa série converge ou diverge, justificando.
Informações dadas:
\text{termo geral } a_n = \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}+4\right)}{5 n^{2}+3}.
Não há outras condições extras no enunciado.

Passo 2

Primeiro passo técnico: estudar o comportamento do módulo do termo geral quando n\to\infty. Definimos
b_n=\left|a_n\right|=\frac{n^{2}+4}{5 n^{2}+3}.
Queremos calcular \lim_{n\to\infty} b_n. Para isso dividimos numerador e denominador por n^{2}:
\lim_{n\to\infty} b_n = \lim_{n\to\infty} \frac{1+\frac{4}{n^{2}}}{5+\frac{3}{n^{2}}} = \frac{1+0}{5+0}=\frac{1}{5}.
Portanto \lim_{n\to\infty} b_n=\frac{1}{5}.

Passo 3

Agora relacionamos isso ao termo com sinal:
a_n = (-1)^n b_n.
Como \lim_{n\to\infty} b_n=\frac{1}{5}\neq 0, a sequência b_n aproxima-se de \frac{1}{5}. Isso implica que a_n oscila aproximando-se dos valores \pm\frac{1}{5} conforme n é par ou ímpar; em particular \lim_{n\to\infty} a_n não é 0 (na verdade não existe um limite único, porque os termos não tendem a 0).

Passo 4

Usamos agora um teste fundamental (muito usado em prova): teste do termo geral (ou teste da divergência). Ele diz: se \sum a_n converge então necessariamente \lim_{n\to\infty} a_n = 0. A contrapartida prática: se \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0 (ou não existe), então a série \sum a_n diverge.
Aplicando isso aqui, como \lim_{n\to\infty} a_n não é 0, concluímos imediatamente que a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}\left(n^{2}+4\right)}{5 n^{2}+3}
diverge.
Observação didática rápida e exemplo: uma série com termos alternados pode convergir (por exemplo a série alternada harmônica \sum (-1)^{n}/n converge pelo critério de Leibniz porque os módulos \,1/n\to0 e decrescem), mas o ponto crucial sempre é que os termos devem tender a zero. Aqui eles não tendem a zero, portanto qualquer esperança de convergência vai por água abaixo.

Resposta

A série diverge.

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