Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem justificando suas afirmações:
Passo 1
O enunciado fornece a série
Pergunta: verificar se essa série converge ou diverge, justificando.
Informações dadas:
Não há outras condições extras no enunciado.
Passo 2
Primeiro passo técnico: estudar o comportamento do módulo do termo geral quando
. Definimos
Queremos calcular
. Para isso dividimos numerador e denominador por
:
Portanto
.
Passo 3
Agora relacionamos isso ao termo com sinal:
Como
, a sequência
aproxima-se de
. Isso implica que
oscila aproximando-se dos valores
conforme
é par ou ímpar; em particular
não é
(na verdade não existe um limite único, porque os termos não tendem a
).
Passo 4
Usamos agora um teste fundamental (muito usado em prova): teste do termo geral (ou teste da divergência). Ele diz: se
converge então necessariamente
. A contrapartida prática: se
(ou não existe), então a série
diverge.
Aplicando isso aqui, como
não é
, concluímos imediatamente que a série
diverge.
Observação didática rápida e exemplo: uma série com termos alternados pode convergir (por exemplo a série alternada harmônica
converge pelo critério de Leibniz porque os módulos
e decrescem), mas o ponto crucial sempre é que os termos devem tender a zero. Aqui eles não tendem a zero, portanto qualquer esperança de convergência vai por água abaixo.
Resposta
A série diverge.