Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem justificando suas afirmações: \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^{n+1}}{(n+1)!}
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^{n+1}}{(n+1)!}
converge ou diverge, com justificativa.
Informações dadas que vamos usar: o termo geral da série é \displaystyle a_{n}=\frac{(-4)^{n+1}}{(n+1)!} para n=1,2,3,\dots. Não há outras condições escondidas.
Passo 2
Vamos introduzir um conceito e um teste que são úteis aqui: convergência absoluta e o teste da razão (teste de d’Alembert).
Definição (em palavras simples): uma série \sum a_n converge absolutamente se a série formada pelos valores absolutos \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge (isso significa que convergência absoluta implica convergência).
Teste da razão (enunciado prático): para uma série com termos não-negativos b_n, se existe o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n},
então
se L<1, a série \sum b_n converge;
se L>1, a série diverge;
se L=1, o teste é inconclusivo.
Aqui vamos aplicar o teste da razão à série dos módulos b_n=|a_n|.
Como 0<1, pelo teste da razão a série \sum b_n=\sum |a_n| converge.
Passo 4
Pela conclusão do passo anterior, \sum |a_n| converge, isto é, a série converge absolutamente. Portanto a série original \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-4)^{n+1}}{(n+1)!} também converge (convergência absoluta implica convergência). Parabéns — já sabemos que a série converge e temos a justificativa (teste da razão aplicado aos módulos).
Passo 5
Bônus (calcular a soma explícita — útil para entender a série): podemos escrever a série trocando o índice. Seja k=n+1. Então, quando n=1,2,\dots temos k=2,3,\dots e