Verifique se as séries abaixo convergem ou divergem justificando suas afirmações:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^{n+1}}{(n+1)!}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-4)^{n+1}}{(n+1)!}
converge ou diverge, com justificativa.
Informações dadas que vamos usar: o termo geral da série é \displaystyle a_{n}=\frac{(-4)^{n+1}}{(n+1)!} para n=1,2,3,\dots. Não há outras condições escondidas.

Passo 2

Vamos introduzir um conceito e um teste que são úteis aqui: convergência absoluta e o teste da razão (teste de d’Alembert).
Definição (em palavras simples): uma série \sum a_n converge absolutamente se a série formada pelos valores absolutos \sum |a_n| converge. Se \sum |a_n| converge, então \sum a_n converge (isso significa que convergência absoluta implica convergência).
Teste da razão (enunciado prático): para uma série com termos não-negativos b_n, se existe o limite
L=\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n},
então
  • se L<1, a série \sum b_n converge;
  • se L>1, a série diverge;
  • se L=1, o teste é inconclusivo.
    Aqui vamos aplicar o teste da razão à série dos módulos b_n=|a_n|.

Passo 3

Calculemos b_n=|a_n| e a razão b_{n+1}/b_n. Temos
b_n = \left|\frac{(-4)^{n+1}}{(n+1)!}\right| = \frac{4^{\,n+1}}{(n+1)!}.
Agora a razão:
\frac{b_{n+1}}{b_n} = \frac{\dfrac{4^{\,n+2}}{(n+2)!}}{\dfrac{4^{\,n+1}}{(n+1)!}} = \frac{4^{\,n+2}}{(n+2)!}\cdot\frac{(n+1)!}{4^{\,n+1}} = \frac{4}{n+2}.
Tomando o limite quando n\to\infty,
\lim_{n\to\infty}\frac{b_{n+1}}{b_n}=\lim_{n\to\infty}\frac{4}{n+2}=0.
Como 0<1, pelo teste da razão a série \sum b_n=\sum |a_n| converge.

Passo 4

Pela conclusão do passo anterior, \sum |a_n| converge, isto é, a série converge absolutamente. Portanto a série original \displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-4)^{n+1}}{(n+1)!} também converge (convergência absoluta implica convergência). Parabéns — já sabemos que a série converge e temos a justificativa (teste da razão aplicado aos módulos).

Passo 5

Bônus (calcular a soma explícita — útil para entender a série): podemos escrever a série trocando o índice. Seja k=n+1. Então, quando n=1,2,\dots temos k=2,3,\dots e
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-4)^{n+1}}{(n+1)!} = \sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-4)^k}{k!}.
Lembrando a série exponencial
e^{x}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{x^k}{k!},
para x=-4 temos
e^{-4}=\sum_{k=0}^{\infty}\frac{(-4)^k}{k!} = \frac{(-4)^0}{0!}+\frac{(-4)^1}{1!}+\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-4)^k}{k!}.
Portanto
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{(-4)^k}{k!}=e^{-4}-\frac{(-4)^0}{0!}-\frac{(-4)^1}{1!} = e^{-4}-1-(-4)=e^{-4}+3.
Assim a soma da série vale \displaystyle e^{-4}+3.

Resposta

Converge absolutamente (logo converge). Soma = e^{-4}+3

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