Mostre que a série sumn=0^infty 1n+i diverge.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para mostrar que a série diverge. Isso está relacionado ao estudo de séries infinitas e convergência. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma série convergente ou divergente e usar alguns testes de convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a série . Aqui, começa em 0 e vai infinito, e é uma constante. Essa série é parecida com a série harmônica, que é , conhecida por divergir. Vamos verificar se essa semelhança nos ajuda.

Passo 3

Lembrando, uma série converge se a soma dos seus termos se aproxima de um número finito quando vamos adicionando termos infinitamente. Caso contrário, a série diverge.

Passo 4

Vamos aplicar o Teste da Série Harmônica, que diz que se os termos de uma série são comparáveis aos termos da série harmônica e não são menores, então a série original também diverge. No nosso caso, os termos são .

Passo 5

Para grande, o termo se torna menos significativo comparado a . Então, é aproximadamente igual a , que é o termo da série harmônica. Isso sugere que nossa série se comporta como a série harmônica.

Passo 6

Como sabemos que a série harmônica diverge, e nossos termos são comparáveis a ela, podemos concluir que a série também não converge.

Resposta

Portanto, a série diverge.

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