Sabendo que o ângulo entre os vetores u e v é de 60 graus, determine o ângulo formado pelos vetores
(a) u e-v

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que o ângulo entre os vetores u e v é de 60 graus. A nossa missão é descobrir qual é o ângulo formado entre o vetor u e o vetor u - v. Isso envolve Álgebra Vetorial, mais especificamente, como calcular o ângulo entre dois vetores usando o produto escalar. Vamos precisar da fórmula do cosseno do ângulo entre vetores e entender como aplicar isso na nossa situação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do cosseno do ângulo entre dois vetores a e b:
cos(theta) = a cdot b||a|| , ||b||
Aqui, theta é o ângulo entre os vetores, a cdot b é o produto escalar deles, e ||a|| e ||b|| são as normas (ou comprimentos) dos vetores.

Passo 3

No nosso caso, queremos encontrar o ângulo entre u e u - v. Vamos chamar esse ângulo de phi. Aplicando a fórmula:
cos(phi) = u cdot (u - v)||u|| , ||u - v||

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar no numerador:
u cdot (u - v) = u cdot u - u cdot v
Sabemos que u cdot u = ||u||^2 e u cdot v = ||u|| , ||v|| cos(60^circ).

Passo 5

Substituindo na equação:
u cdot (u - v) = ||u||^2 - ||u|| , ||v|| cos(60^circ)
Como o ângulo entre u e v é 60 graus, cos(60^circ) = 0,5.

Passo 6

Então,
u cdot (u - v) = ||u||^2 - 12 ||u|| , ||v||

Passo 7

Agora, precisamos calcular || u - v||. Usamos a fórmula:
||u - v|| = raiz||u||^2 + ||v||^2 - 2 ||u|| , ||v|| cos(60^circ)
Substituindo cos(60^circ) = 0,5:
||u - v|| = raiz||u||^2 + ||v||^2 - ||u|| , ||v||

Passo 8

Agora, voltando à fórmula do cosseno do ângulo phi:
cos(phi) = ||u||^2 - 12 ||u|| , ||v||||u|| , raiz||u||^2 + ||v||^2 - ||u|| , ||v||

Passo 9

Simplificando a expressão:
Se dividirmos o numerador e o denominador por ||u||, teremos:
cos(phi) = ||u|| - 12 ||v||raiz||u||^2 + ||v||^2 - ||u|| , ||v||

Passo 10

Sem valores numéricos específicos para || u|| e || v||, não podemos calcular um ângulo numérico exato. Portanto, a resposta final depende das magnitudes dos vetores u e v.

Resposta

O ângulo formado entre os vetores u e u - v é tal que:
cos(phi) = ||u|| - 12 ||v||raiz||u||^2 + ||v||^2 - ||u|| , ||v||
Sem os valores das magnitudes dos vetores, não é possível determinar um valor numérico específico para o ângulo phi.

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