e pede para mostrarmos que ela é convergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado: \;k percorre os inteiros positivos a partir de 1.
A cada termo aparece o fator \sin\left(k^{2}+1\right).
Há um fator geométrico \frac{2^{k}}{3^{k}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
Nosso objetivo é concluir convergência da soma infinita acima.
Passo 2
Primeiro reescrevo o termo geral de forma mais clara:
Aqui usei que \left(\frac{2}{3}\right)^{k}\ge 0 para poder tirar esse fator fora do valor absoluto.
Passo 5
Considere agora a série geométrica
\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
Recorde: uma série geométrica \sum_{k=1}^{\infty} r^{k} converge se, e somente se, |r|<1, e nesse caso seu somatório vale \dfrac{r}{1-r}. Aqui r=\dfrac{2}{3} e |r|=\dfrac{2}{3}<1, logo
\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{k}
converge (é finita).
Passo 6
Usando a desigualdade do Passo 4 e a convergência da série geométrica do Passo 5, aplico o teste da comparação para séries de termos não negativos: como
0\le |a_k|\le \left(\frac{2}{3}\right)^{k}
e \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{k} converge, então a série
\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|
também converge. Em outras palavras, a série original converge absolutamente.
Passo 7
Finalmente, uso o fato (teorema padrão) de que toda série absolutamente convergente é convergente. Portanto a série