Mostre que as séries abaixo são convergentes:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k} \sin \left(k^{2}+1\right)}{3^{k}}

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}\sin\left(k^{2}+1\right)}{3^{k}}
e pede para mostrarmos que ela é convergente. Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
\;k percorre os inteiros positivos a partir de 1.
A cada termo aparece o fator \sin\left(k^{2}+1\right).
Há um fator geométrico \frac{2^{k}}{3^{k}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
Nosso objetivo é concluir convergência da soma infinita acima.

Passo 2

Primeiro reescrevo o termo geral de forma mais clara:
a_k=\frac{2^{k}\sin\left(k^{2}+1\right)}{3^{k}}=\left(\frac{2}{3}\right)^{k}\sin\left(k^{2}+1\right).
Essa fatoração mostra um produto entre a sequência geométrica \left(\frac{2}{3}\right)^{k} e a função \sin(\cdot) avaliada em k^{2}+1.

Passo 3

Agora uso uma propriedade básica da função seno: para todo número real x vale
-1\le \sin(x)\le 1,
portanto, em particular,
\left|\sin\left(k^{2}+1\right)\right|\le 1\qquad\text{para todo }k\in\mathbb{N}.
Explicação curta: a função \sin nunca excede 1 em módulo — é um fato elementar de trigonometria.

Passo 4

Aplicando a desigualdade do passo anterior ao termo a_k, obtemos uma desigualdade para o valor absoluto:
|a_k|=\left|\left(\frac{2}{3}\right)^{k}\sin\left(k^{2}+1\right)\right| =\left(\frac{2}{3}\right)^{k}\left|\sin\left(k^{2}+1\right)\right| \le \left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
Aqui usei que \left(\frac{2}{3}\right)^{k}\ge 0 para poder tirar esse fator fora do valor absoluto.

Passo 5

Considere agora a série geométrica
\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{k}.
Recorde: uma série geométrica \sum_{k=1}^{\infty} r^{k} converge se, e somente se, |r|<1, e nesse caso seu somatório vale \dfrac{r}{1-r}. Aqui r=\dfrac{2}{3} e |r|=\dfrac{2}{3}<1, logo
\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{2}{3}\right)^{k}
converge (é finita).

Passo 6

Usando a desigualdade do Passo 4 e a convergência da série geométrica do Passo 5, aplico o teste da comparação para séries de termos não negativos: como
0\le |a_k|\le \left(\frac{2}{3}\right)^{k}
e \sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{2}{3}\right)^{k} converge, então a série
\sum_{k=1}^{\infty}|a_k|
também converge. Em outras palavras, a série original converge absolutamente.

Passo 7

Finalmente, uso o fato (teorema padrão) de que toda série absolutamente convergente é convergente. Portanto a série
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}\sin\left(k^{2}+1\right)}{3^{k}}
converge.

Resposta

A série \displaystyle\sum_{k=1}^{\infty} \frac{2^{k}\sin\left(k^{2}+1\right)}{3^{k}} converge absolutamente; portanto é convergente.

Exercícios relacionados