Mostre que as séries abaixo são convergentes:
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\ln k}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\ln k}
é convergente. As informações relevantes dadas são:
  • O índice de soma é \,k=2,3,4,\dots.
  • O termo geral é \displaystyle \frac{(-1)^{k}}{\ln k}.
  • Observamos que os sinais alternam (devido a (-1)^{k}) e a parte em módulo do termo é b_k=\dfrac{1}{\ln k}, que é positiva para \,k\ge 2.

Passo 2

Vamos usar o Teste de Leibniz (teste da série alternada). Vou explicar o que é e por que serve: o teste diz que a série alternada
\sum_{k=K}^{\infty} (-1)^k b_k
converge se as três condições a seguir forem satisfeitas:
  1. \,b_k\ge 0 para todo k a partir de algum K;
  2. b_k é monotonicamente decrescente (pelo menos a partir de algum índice K);
  3. \displaystyle \lim_{k\to\infty} b_k = 0.
Intuição curta: os termos de sinais alternados vão ficando menores em módulo e tendem a zero, então as somas parciais oscilam dentro de intervalos cada vez menores, convergindo para um limite. Agora vamos verificar essas condições para b_k=\dfrac{1}{\ln k}.

Passo 3

Verificação de positividade: para \,k\ge 2 temos \ln k>0, logo
b_k=\frac{1}{\ln k}>0.

Passo 4

Verificação de que \displaystyle \lim_{k\to\infty} b_k = 0: sabemos que \displaystyle \lim_{k\to\infty} \ln k = +\infty. Como b_k é o recíproco de \ln k, segue que
\lim_{k\to\infty} b_k = \lim_{k\to\infty} \frac{1}{\ln k} = 0.
Esse é um passo direto: se o denominador cresce sem limite, o quociente vai a zero.

Passo 5

Verificação da monotonicidade decrescente de b_k: a função \ln x é crescente para x>0. Assim, para todo k\ge 2 temos \ln(k+1)>\ln k. Tomando recíprocos positivos obtemos
\frac{1}{\ln(k+1)} < \frac{1}{\ln k},
ou seja,
b_{k+1}<b_k\quad\text{para todo }k\ge 2.
Portanto (b_k) é monotonicamente decrescente a partir de k=2.

Passo 6

Aplicando o Teste de Leibniz: já que (i) b_k>0, (ii) b_k é decrescente e (iii) \lim_{k\to\infty} b_k=0, todas as hipóteses do teste são satisfeitas. Logo a série alternada
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\ln k}
converge.

Passo 7

Comentário extra (útil para a prova): a convergência é condicional, não absoluta. Para ver isso podemos mostrar que a série dos valores absolutos diverge:
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{\ln k}.
Como (b_k) é decrescente e positiva, podemos aplicar o Teste de Condensação de Cauchy: a série \sum b_k converge se, e somente se, a série
\sum_{n=1}^{\infty} 2^n b_{2^n}
converge. Aqui
2^n b_{2^n} = \frac{2^n}{\ln(2^n)} = \frac{2^n}{n\ln 2}.
Mas \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2^n}{n\ln 2} diverge (os termos não tendem a zero; de fato crescem exponencialmente dividido por n). Portanto a série condensada diverge, e assim \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{\ln k} diverge. Conclusão: a série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.

Resposta

A série \displaystyle \sum_{k=2}^{\infty} \frac{(-1)^{k}}{\ln k} converge (condicionalmente).

Exercícios relacionados