Mostre que as séries abaixo são convergentes:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a série
é convergente. As informações relevantes dadas são:
- O índice de soma é
. - O termo geral é
. - Observamos que os sinais alternam (devido a
) e a parte em módulo do termo é , que é positiva para .
Passo 2
Vamos usar o Teste de Leibniz (teste da série alternada). Vou explicar o que é e por que serve: o teste diz que a série alternada
converge se as três condições a seguir forem satisfeitas:
-
para todo a partir de algum ; -
é monotonicamente decrescente (pelo menos a partir de algum índice ); -
.
Intuição curta: os termos de sinais alternados vão ficando menores em módulo e tendem a zero, então as somas parciais oscilam dentro de intervalos cada vez menores, convergindo para um limite. Agora vamos verificar essas condições para
.
Passo 3
Verificação de positividade: para
temos
, logo
Passo 4
Verificação de que
: sabemos que
. Como
é o recíproco de
, segue que
Esse é um passo direto: se o denominador cresce sem limite, o quociente vai a zero.
Passo 5
Verificação da monotonicidade decrescente de
: a função
é crescente para
. Assim, para todo
temos
. Tomando recíprocos positivos obtemos
ou seja,
Portanto
é monotonicamente decrescente a partir de
.
Passo 6
Aplicando o Teste de Leibniz: já que (i)
, (ii)
é decrescente e (iii)
, todas as hipóteses do teste são satisfeitas. Logo a série alternada
converge.
Passo 7
Comentário extra (útil para a prova): a convergência é condicional, não absoluta. Para ver isso podemos mostrar que a série dos valores absolutos diverge:
Como
é decrescente e positiva, podemos aplicar o Teste de Condensação de Cauchy: a série
converge se, e somente se, a série
converge. Aqui
Mas
diverge (os termos não tendem a zero; de fato crescem exponencialmente dividido por
). Portanto a série condensada diverge, e assim
diverge. Conclusão: a série original não converge absolutamente, apenas condicionalmente.
Resposta
A série
converge (condicionalmente).