Quando a soma começa em k=1 com termos ar^{k-1}, a fórmula fica a mesma reindexada. No nosso caso a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{5^{k}} é geométrica com primeira parcela a=\dfrac{1}{5} e razão r=\dfrac{1}{5} (porque cada termo é obtido multiplicando o anterior por 1/5). Como |r|=\dfrac{1}{5}<1, a série geométrica converge e sua soma é
Definição e teorema que usamos (explicando como aplicá-lo na prova): dizemos que a série \sum a_k converge absolutamente se \sum |a_k| converge. Um teorema clássico garante que se \sum |a_k| converge então \sum a_k também converge (isto é, convergência absoluta implica convergência). Como mostramos no Passo 3 que \sum_{k=1}^{\infty}|a_k|=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{5^{k}} converge, concluímos que a série original converge absolutamente e, portanto, converge.
Passo 5
Extra útil na prova: podemos também calcular a soma exata da série original porque ela é geométrica (com sinal alternante embutido). Observe que o primeiro termo (para k=1) é