Mostre que as séries abaixo são convergentes:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{5^{k}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a série abaixo é convergente:
\sum_{k=1}^{\infty} \frac{(-1)^{k+1}}{5^{k}}.
Informações dadas que vamos usar: cada termo da série é a_k=\dfrac{(-1)^{k+1}}{5^{k}}. Não há outras condições externas.

Passo 2

Vamos olhar para o valor absoluto dos termos, porque isso facilita muito: calculemos |a_k|.
|a_k|=\left|\frac{(-1)^{k+1}}{5^{k}}\right|=\frac{1}{5^{k}}.
Aqui usei que \left|(-1)^{k+1}\right|=1 para qualquer k. Portanto \sum_{k=1}^{\infty}|a_k|=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{5^{k}}.

Passo 3

Agora uma pequena aula sobre séries geométricas (útil na prova): uma série geométrica de primeira parcela a e razão r tem a forma
\sum_{k=0}^{\infty} ar^{k}=\frac{a}{1-r}\quad\text{se }\\ |r|<1.
Quando a soma começa em k=1 com termos ar^{k-1}, a fórmula fica a mesma reindexada. No nosso caso a série \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{5^{k}} é geométrica com primeira parcela a=\dfrac{1}{5} e razão r=\dfrac{1}{5} (porque cada termo é obtido multiplicando o anterior por 1/5). Como |r|=\dfrac{1}{5}<1, a série geométrica converge e sua soma é
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{5^{k}}=\frac{\tfrac{1}{5}}{1-\tfrac{1}{5}}=\frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{4}{5}}=\frac{1}{4}.

Passo 4

Definição e teorema que usamos (explicando como aplicá-lo na prova): dizemos que a série \sum a_k converge absolutamente se \sum |a_k| converge. Um teorema clássico garante que se \sum |a_k| converge então \sum a_k também converge (isto é, convergência absoluta implica convergência). Como mostramos no Passo 3 que \sum_{k=1}^{\infty}|a_k|=\sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{5^{k}} converge, concluímos que a série original converge absolutamente e, portanto, converge.

Passo 5

Extra útil na prova: podemos também calcular a soma exata da série original porque ela é geométrica (com sinal alternante embutido). Observe que o primeiro termo (para k=1) é
a=\frac{(-1)^{1+1}}{5^{1}}=\frac{1}{5},
e a razão é
r=\frac{a_{2}}{a_{1}}=\frac{\tfrac{(-1)^{3}}{5^{2}}}{\tfrac{(-1)^{2}}{5^{1}}}=-\frac{1}{5}.
Como |r|=\dfrac{1}{5}<1, a soma é
\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(-1)^{k+1}}{5^{k}}=\frac{\tfrac{1}{5}}{1-(-\tfrac{1}{5})}=\frac{\tfrac{1}{5}}{1+\tfrac{1}{5}}=\frac{\tfrac{1}{5}}{\tfrac{6}{5}}=\frac{1}{6}.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge). Soma: \dfrac{1}{6}.

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