Mostre que as séries abaixo são as mesmas:
sumn=1^infty nn^2+1=sumn=-2^infty n+3n^2+6 n+10

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as duas séries infinitas
sumn=1^infty nn^2+1
e
sumn=-2^infty n+3n^2+6n+10
é a mesma. O conteúdo aqui é equivalência de séries via mudança de índice, e precisaremos reconhecer padrões algébricos no denominador.

Passo 2

Note que
n^2+6n+10 = (n+3)^2 +1
Isso mostra que o termo genérico da segunda série pode ser escrito em função de n+3.

Passo 3

Fazemos a troca de índice
k = n + 3,
então
n = k - 3,
e os limites mudam de n=-2 para k=1 e ntoinfty para ktoinfty. O termo fica
n+3n^2+6n+10 = kk^2+1,
e a soma se torna
sumn=-2^infty n+3n^2+6n+10 = sumk=1^infty kk^2+1

Passo 4

Como a soma em k de k/(k^2+1) para k=1 até infty é exatamente a primeira série, concluímos que as duas são iguais.

Resposta

sumn=1^infty nn^2+1 = sumn=-2^infty n+3n^2+6n+10

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