1. Mostre que sin (90^circ-theta)=cos theta
  2. Considere a função
f(x)=1x^2+3
ela é função composta de qual função?

Passo 1

O enunciado traz duas tarefas:
  • (35) Mostrar a identidade trigonométrica de co­funções sin(90^circ - theta)=costheta. O conteúdo aqui é trigonometria de ângulos complementares, usando definição de seno e cosseno num triângulo retângulo.
  • (36) Identificar em quais funções elementares f(x)=tfrac1x^2+3 se decompõe; isso é conteúdo de função composta, com f=hcirc g.

Passo 2

Para provar sin(90^circ-theta)=costheta, considere um triângulo retângulo com ângulo agudo theta. Os catetos são “oposto a theta” e “adjacente a theta”, e a hipotenusa é comum. O outro ângulo agudo mede 90^circ-theta.
Pela definição de seno,
sin(90^circ-theta)=cateto oposto ao ângulo (90^circ-theta)hipotenusa â
Mas o cateto oposto a 90^circ-theta é exatamente o cateto adjacente a theta. Logo,
sin(90^circ-theta) =cateto adjacente a thetahipotenusa =costheta

Passo 3

Para escrever
f(x)=1x^2+3
como composição de funções, identificamos duas funções simples:
g(x)=x^2+3, h(u)=1u
Então
f(x)=hl(g(x)r),
ou seja, f=hcirc g.

Resposta

  1. sin(90^circ-theta)=costheta.
  2. f é composta de g(x)=x^2+3 e h(u)=1/u, ou seja, f=hcirc g.

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