Mostre que o sistema descrito pela equação abaixo é linear:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que pede: “Mostrar que o sistema descrito por essa equação é linear.”
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função desconhecida é
(saída do sistema). - A função de entrada é
. - A equação relaciona a derivada de
, e por meio de soma e multiplicação por constante.
Passo 2
Definição prática de linearidade que vamos usar (princípio da superposição):
Se para quaisquer sinais de entrada e
com respectivas saídas
e
satisfazendo a equação, e quaisquer escalares
e
, a combinação
é a saída correspondente à entrada
, então o sistema é linear. Em termos de operador, se definirmos um operador
Se para quaisquer sinais de entrada
então o sistema é linear se
for linear, isto é, se
para quaisquer
e escalares
.
Passo 3
Propriedades elementares que usaremos (explicadas de forma simples):
- A derivada é linear: para quaisquer funções
diferenciáveis e quaisquer escalares ,
Justificativa rápida: pela definição do limite da derivada,
separa-se termos e fatoram-se escalares:
- Multiplicar uma função por uma constante é uma operação linear:
.
Passo 4
Aplicar o operador
à combinação linear
:
Usando a linearidade da derivada e a linearidade da multiplicação por constante (passo anterior),
Reagrupando termos,
Ou seja,
portanto
é um operador linear.
Passo 5
Conectando com os sinais de entrada: se
e
satisfazem
então, pela linearidade de
mostrada,
Isto significa que a combinação linear das saídas corresponde à combinação linear das entradas. Portanto o sistema obedece ao princípio da superposição (additividade e homogeneidade).
Passo 6
Comentário final e observação prática (sem complicar): a equação é um exemplo clássico de equação diferencial linear de primeira ordem porque contém somente operações lineares em
(derivada, soma e multiplicação por constante) e o lado direito é a entrada
. Por isso o sistema é linear. (Nota: quando se fala em linearidade de um sistema dinâmico normalmente assume-se também condições iniciais compatíveis — se houver condições iniciais não nulas, a propriedade de superposição entre respostas forçadas só vale se as condições iniciais forem nulas ou forem tratadas separadamente.)
Resposta
O sistema é linear.