Mostre que o sistema descrito pela equação abaixo é linear:
\frac{d y(t)}{d t}+3 y(t)=x(t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{d y(t)}{d t}+3\,y(t)=x(t).
O que pede: “Mostrar que o sistema descrito por essa equação é linear.”
Informações relevantes fornecidas:
  • A função desconhecida é y(t) (saída do sistema).
  • A função de entrada é x(t).
  • A equação relaciona a derivada de y, y e x por meio de soma e multiplicação por constante.

Passo 2

Definição prática de linearidade que vamos usar (princípio da superposição):
Se para quaisquer sinais de entrada x_1(t) e x_2(t) com respectivas saídas y_1(t) e y_2(t) satisfazendo a equação, e quaisquer escalares \alpha e \beta, a combinação \alpha y_1(t)+\beta y_2(t) é a saída correspondente à entrada \alpha x_1(t)+\beta x_2(t), então o sistema é linear. Em termos de operador, se definirmos um operador
L[y](t)=\frac{d y(t)}{d t}+3\,y(t),
então o sistema é linear se L for linear, isto é, se
L[\alpha y_1+\beta y_2]=\alpha L[y_1]+\beta L[y_2]
para quaisquer y_1,y_2 e escalares \alpha,\beta.

Passo 3

Propriedades elementares que usaremos (explicadas de forma simples):
  • A derivada é linear: para quaisquer funções y_1,y_2 diferenciáveis e quaisquer escalares \alpha,\beta,
\frac{d}{d t}\big(\alpha y_1(t)+\beta y_2(t)\big) =\alpha\frac{d y_1(t)}{d t}+\beta\frac{d y_2(t)}{d t}.
Justificativa rápida: pela definição do limite da derivada,
\frac{d}{d t}\big(\alpha y_1+\beta y_2\big) =\lim_{h\to0}\frac{\alpha y_1(t+h)+\beta y_2(t+h)-\alpha y_1(t)-\beta y_2(t)}{h},
separa-se termos e fatoram-se escalares:
=\alpha\lim_{h\to0}\frac{y_1(t+h)-y_1(t)}{h}+\beta\lim_{h\to0}\frac{y_2(t+h)-y_2(t)}{h} =\alpha y_1'(t)+\beta y_2'(t).
  • Multiplicar uma função por uma constante é uma operação linear: 3(\alpha y_1+\beta y_2)=\alpha(3y_1)+\beta(3y_2).

Passo 4

Aplicar o operador L à combinação linear \alpha y_1+\beta y_2:
L[\alpha y_1+\beta y_2] =\frac{d}{d t}\big(\alpha y_1+\beta y_2\big)+3\big(\alpha y_1+\beta y_2\big).
Usando a linearidade da derivada e a linearidade da multiplicação por constante (passo anterior),
L[\alpha y_1+\beta y_2] =\alpha\frac{d y_1}{d t}+\beta\frac{d y_2}{d t}+\alpha 3y_1+\beta 3y_2.
Reagrupando termos,
L[\alpha y_1+\beta y_2] =\alpha\Big(\frac{d y_1}{d t}+3y_1\Big)+\beta\Big(\frac{d y_2}{d t}+3y_2\Big).
Ou seja,
L[\alpha y_1+\beta y_2]=\alpha L[y_1]+\beta L[y_2],
portanto L é um operador linear.

Passo 5

Conectando com os sinais de entrada: se y_1 e y_2 satisfazem
L[y_1]=x_1\quad\text{e}\quad L[y_2]=x_2,
então, pela linearidade de L mostrada,
L[\alpha y_1+\beta y_2]=\alpha x_1+\beta x_2.
Isto significa que a combinação linear das saídas corresponde à combinação linear das entradas. Portanto o sistema obedece ao princípio da superposição (additividade e homogeneidade).

Passo 6

Comentário final e observação prática (sem complicar): a equação é um exemplo clássico de equação diferencial linear de primeira ordem porque contém somente operações lineares em y (derivada, soma e multiplicação por constante) e o lado direito é a entrada x(t). Por isso o sistema é linear. (Nota: quando se fala em linearidade de um sistema dinâmico normalmente assume-se também condições iniciais compatíveis — se houver condições iniciais não nulas, a propriedade de superposição entre respostas forçadas só vale se as condições iniciais forem nulas ou forem tratadas separadamente.)

Resposta

O sistema é linear.

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