Mostre que \left(x_{n}\right)=\left(\frac{n+1}{n}\right) é de Cauchy.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a sequência \left(x_{n}\right)=\left(\dfrac{n+1}{n}\right) é de Cauchy.
Informações dadas:
  • A sequência é x_n=\dfrac{n+1}{n} para n\in\mathbb{N}.
  • A tarefa é provar, pela definição, que essa sequência satisfaz a propriedade de Cauchy (isto é, os termos ficam arbitrariamente próximos entre si quando n e m são grandes).

Passo 2

Definição de sequência de Cauchy (explicada com calma).
Uma sequência \left(x_n\right) é de Cauchy se, para todo \varepsilon>0, existir um índice N\in\mathbb{N} tal que, sempre que m,n\ge N, temos
|x_m-x_n|<\varepsilon.
O que isso significa intuitivamente: dados dois termos suficientemente à frente na sequência, a distância entre eles pode ser tornada menor que qualquer tolerância positiva \varepsilon escolhida. Nosso objetivo é, dado um \varepsilon>0 arbitrário, construir um N que funcione.

Passo 3

Reescrevendo a sequência de forma mais simples (isso ajuda nas contas):
x_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}.
Isso mostra que os termos são 1+\dfrac{1}{n}; conforme n cresce, o segundo termo \dfrac{1}{n} fica pequeno, o que sugere que as diferenças entre termos devem ficar pequenas.

Passo 4

Estimativa clássica da diferença entre dois termos. Seja m,n\in\mathbb{N}. Sem perda de generalidade suponha m\ge n. Então
|x_m-x_n|=\left|1+\frac{1}{m}-\left(1+\frac{1}{n}\right)\right| =\left|\frac{1}{m}-\frac{1}{n}\right| =\frac{m-n}{mn}.
Agora estimamos essa fração por algo mais simples. Observando que m-n\le m, obtemos
\frac{m-n}{mn}\le\frac{m}{mn}=\frac{1}{n}.
Logo, quando m\ge n,
|x_m-x_n|\le\frac{1}{n}.
Se em vez disso tivéssemos n\ge m, o mesmo raciocínio dá |x_m-x_n|\le \dfrac{1}{m}. Portanto, em geral vale
|x_m-x_n|\le\frac{1}{\min\{m,n\}}.

Passo 5

Construção de N a partir de \varepsilon. Seja um \varepsilon>0 dado. Escolha N\in\mathbb{N} tal que
N>\frac{1}{\varepsilon}.
Por exemplo, pode-se escolher N=\left\lceil\dfrac{1}{\varepsilon}\right\rceil. Agora, para quaisquer m,n\ge N temos \min\{m,n\}\ge N, então usando a desigualdade do passo anterior:
|x_m-x_n|\le\frac{1}{\min\{m,n\}}\le\frac{1}{N}<\varepsilon.
Isso prova exatamente a condição da definição de Cauchy.

Passo 6

Conclusão final e comentário intuitivo. Como para todo \varepsilon>0 foi possível encontrar N tal que m,n\ge N implica |x_m-x_n|<\varepsilon, a sequência \left(x_n\right)=\left(\dfrac{n+1}{n}\right) é de Cauchy. Intuitivamente, isso acontece porque x_n=1+\dfrac{1}{n} converge para 1, e sequências convergentes em \mathbb{R} têm a propriedade de serem Cauchy — aqui demonstramos isso diretamente pelas desigualdades.

Resposta

A sequência \left(x_{n}\right)=\left(\dfrac{n+1}{n}\right) é de Cauchy.

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