Mostre que \left(x_{n}\right)=\left(n+(-1)^{n}\right) não é de Cauchy.

Passo 1

O enunciado nos dá a sequência \left(x_{n}\right) definida por
x_{n}=n+(-1)^{n}\quad\text{para todo }n\in\mathbb{N}.
A tarefa é mostrar que a sequência \left(x_{n}\right) não é de Cauchy, isto é, provar que ela não satisfaz a definição de sequência de Cauchy.

Passo 2

Vou lembrar e explicar a definição de sequência de Cauchy (na reta com a distância usual). Dizemos que uma sequência \left(x_{n}\right) é de Cauchy se:
\forall \varepsilon>0\\ \exists N\in\mathbb{N}\\ \text{tal que}\\ \forall m,n\ge N,\\ |x_{n}-x_{m}|<\varepsilon.
Explicando em palavras: para qualquer tolerância \varepsilon>0 existe um índice N de modo que, depois desse índice, todos os termos da sequência ficam mutuamente a uma distância menor que \varepsilon. Para provar que uma sequência NÃO é de Cauchy, basta mostrar que existe algum \varepsilon>0 tal que, para todo N, existem m,n\ge N com |x_{n}-x_{m}|\ge\varepsilon.

Passo 3

Escolho um valor conveniente de \varepsilon. Uma boa escolha aqui é
\varepsilon=\tfrac{1}{2}.
Motivo: se eu conseguir, para todo N, encontrar dois índices m,n\ge N com |x_{n}-x_{m}|\ge \tfrac{1}{2}, então a sequência não é Cauchy. (Escolhi \tfrac{1}{2} porque a sequência oscila entre dois valores inteiros consecutivos, logo diferenças inteiras aparecem e então \tfrac{1}{2} é pequena o bastante para separar esses casos.)

Passo 4

Vou construir, para um N arbitrário, índices m,n\ge N que violam a condição de Cauchy. Seja N qualquer. Tome
m=2N\quad\text{e}\quad n=2N+1.
Observe que m\ge N e n\ge N pois 2N\ge N e 2N+1\ge N.

Passo 5

Calculo os valores desses termos usando a definição \,x_{k}=k+(-1)^{k}\,.
Para m=2N (par) temos (-1)^{2N}=1, logo
x_{2N}=2N+1.
Para n=2N+1 (ímpar) temos (-1)^{2N+1}=-1, logo
x_{2N+1}=2N+1-1=2N.

Passo 6

Agora calculo a diferença entre esses dois termos:
|x_{2N+1}-x_{2N}|=|2N-(2N+1)|=1.
Portanto, para os índices m=2N e n=2N+1 obtém-se sempre |x_{n}-x_{m}|=1.

Passo 7

Como 1\ge\tfrac{1}{2}, concluímos que para o \varepsilon=\tfrac{1}{2} escolhido, e para qualquer N, existem m,n\ge N (os que escolhemos) tais que
|x_{n}-x_{m}|\ge\tfrac{1}{2}.
Isto contradiz a definição de sequência de Cauchy. Logo a sequência não é de Cauchy.

Resposta

A sequência \left(x_{n}\right)=(n+(-1)^{n}) não é de Cauchy.

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