Mostre que
não é de Cauchy.
Passo 1
O enunciado nos dá a sequência
definida por
A tarefa é mostrar que a sequência
não é de Cauchy, isto é, provar que ela não satisfaz a definição de sequência de Cauchy.
Passo 2
Vou lembrar e explicar a definição de sequência de Cauchy (na reta com a distância usual). Dizemos que uma sequência
é de Cauchy se:
Explicando em palavras: para qualquer tolerância
existe um índice
de modo que, depois desse índice, todos os termos da sequência ficam mutuamente a uma distância menor que
. Para provar que uma sequência NÃO é de Cauchy, basta mostrar que existe algum
tal que, para todo
, existem
com
.
Passo 3
Escolho um valor conveniente de
. Uma boa escolha aqui é
Motivo: se eu conseguir, para todo
, encontrar dois índices
com
, então a sequência não é Cauchy. (Escolhi
porque a sequência oscila entre dois valores inteiros consecutivos, logo diferenças inteiras aparecem e então
é pequena o bastante para separar esses casos.)
Passo 4
Vou construir, para um
arbitrário, índices
que violam a condição de Cauchy. Seja
qualquer. Tome
Observe que
e
pois
e
.
Passo 5
Calculo os valores desses termos usando a definição
.
Para
(par) temos
, logo
Para
(ímpar) temos
, logo
Passo 6
Agora calculo a diferença entre esses dois termos:
Portanto, para os índices
e
obtém-se sempre
.
Passo 7
Como
, concluímos que para o
escolhido, e para qualquer
, existem
(os que escolhemos) tais que
Isto contradiz a definição de sequência de Cauchy. Logo a sequência não é de Cauchy.
Resposta
A sequência
não é de Cauchy.