(a) Mostre que para o sistema linear \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=9 \\\\ -x_{2}+x_{3}=1 \\\ x_{1}+3 x_{3}=3\end{array}\right. com esta disposição de linhas e colunas não podemos usar o critério de Sassenfeld para garantir convergência.
(b) Encontre uma permutação das linhas e das colunas que permita utilizar o critério de Sassenfeld.

Passo 1

O enunciado nos dá o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}+x_{2}+x_{3}=9,\\\\ -\,x_{2}+x_{3}=1,\\\ x_{1}+3x_{3}=3, \end{cases}
e pede: (a) mostrar que, na disposição atual de linhas e colunas, o critério de Sassenfeld não garante convergência do Gauss–Seidel; (b) encontrar uma permutação de linhas e colunas que faça o critério valer. Vamos usar o critério de Sassenfeld, que define coeficientes \beta_i de forma recursiva e exige \max_i\beta_i<1.

Passo 2

Escrevendo a matriz dos coeficientes e o vetor termo - lado, temos
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1\\\\ 0 & -1 & 1\\\\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}, \quad b=\begin{pmatrix}9\\\ 1\\\ 3\end{pmatrix}.
Para aplicar Sassenfeld, calculamos
\beta_{1}=\frac{|a_{12}|+|a_{13}|}{|a_{11}|} =\frac{|1|+|1|}{|2|} =1,
\beta_{2} =\frac{|a_{21}|\beta_{1}+|a_{23}|}{|a_{22}|} =\frac{0\cdot1+|1|}{|-1|} =1,
\beta_{3} =\frac{|a_{31}|\beta_{1}+|a_{32}|\beta_{2}}{|a_{33}|} =\frac{|1|\cdot1+|0|\cdot1}{|3|} =\tfrac{1}{3}.

Passo 3

Observamos que
\max\{\beta_{1},\beta_{2},\beta_{3}\} =\max\{1,\,1,\,\tfrac13\}=1\not<1,
logo o critério de Sassenfeld não assegura convergência nesta disposição.

Passo 4

Para consertar, vamos permutar linhas e colunas de modo a ter coeficientes diagonais maiores que a soma dos outros termos na mesma linha, o que tende a reduzir as \beta_i. Uma escolha eficaz é:
\bullet Permutar as colunas segundo a ordem (3,1,2), isto é, colocar a coluna de x_{3} em primeiro lugar, de x_{1} em segundo e de x_{2} em terceiro.
\bullet Permutar as linhas segundo a ordem (3,1,2), isto é, usar primeiro a equação original 3, depois a 1 e por fim a 2.

Passo 5

Depois dessa permutação, o sistema fica
\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}x_{3}\x_{1}\x_{2}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3\\\ 9\\\ 1\end{pmatrix}.
Chamando de \tilde A e \tilde b, calculemos as novas \beta_i:
\beta_{1}'=\frac{|1|+|0|}{|3|}=\tfrac13,
\beta_{2}'=\frac{|1|\beta_{1}'+|1|}{|2|} =\frac{\tfrac13+1}{2} =\tfrac{2}{3},
\beta_{3}'=\frac{|1|\beta_{1}'+|0|\beta_{2}'}{|{-1}|} =\frac{\tfrac13+0}{1} =\tfrac13.

Passo 6

Como
\max\{\beta_{1}',\beta_{2}',\beta_{3}'\} =\tfrac{2}{3}<1,
o critério de Sassenfeld agora garante convergência do método de Gauss–Seidel.

Resposta

(a) Na disposição original temos \beta_{1}=\beta_{2}=1, então não vale \max\beta_i<1.
(b) Uma permutação que funciona é trocar linhas na ordem (3,1,2) e colunas na ordem (3,1,2), obtendo a matriz
\begin{pmatrix} 3 & 1 & 0\\\\ 1 & 2 & 1\\\\ 1 & 0 & -1 \end{pmatrix},
para a qual \max\{\beta_{i}'\}=2/3<1.

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