(a) Mostre que para o sistema linear \left\{\begin{array}{l}2 x_{1}+x_{2}+x_{3}=9 \\\\ -x_{2}+x_{3}=1 \\\ x_{1}+3 x_{3}=3\end{array}\right. com esta disposição de linhas e colunas não podemos usar o critério de Sassenfeld para garantir convergência.
(b) Encontre uma permutação das linhas e das colunas que permita utilizar o critério de Sassenfeld.
e pede: (a) mostrar que, na disposição atual de linhas e colunas, o critério de Sassenfeld não garante convergência do Gauss–Seidel; (b) encontrar uma permutação de linhas e colunas que faça o critério valer. Vamos usar o critério de Sassenfeld, que define coeficientes \beta_i de forma recursiva e exige \max_i\beta_i<1.
Passo 2
Escrevendo a matriz dos coeficientes e o vetor termo - lado, temos
logo o critério de Sassenfeld não assegura convergência nesta disposição.
Passo 4
Para consertar, vamos permutar linhas e colunas de modo a ter coeficientes diagonais maiores que a soma dos outros termos na mesma linha, o que tende a reduzir as \beta_i. Uma escolha eficaz é:
\bullet Permutar as colunas segundo a ordem (3,1,2), isto é, colocar a coluna de x_{3} em primeiro lugar, de x_{1} em segundo e de x_{2} em terceiro. \bullet Permutar as linhas segundo a ordem (3,1,2), isto é, usar primeiro a equação original 3, depois a 1 e por fim a 2.
o critério de Sassenfeld agora garante convergência do método de Gauss–Seidel.
Resposta
(a) Na disposição original temos \beta_{1}=\beta_{2}=1, então não vale \max\beta_i<1.
(b) Uma permutação que funciona é trocar linhas na ordem (3,1,2) e colunas na ordem (3,1,2), obtendo a matriz