(2.5 pontos) Determine os valores de máximos locais, mínimos locais e pontos de sela da função
f(x, y)=10 x^{2}+30 x y+25 y^{2}+8 y^{5}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os pontos críticos de
f(x,y)=10x^{2}+30xy+25y^{2}+8y^{5}
e classificar cada um como máximo local, mínimo local ou ponto de sela. Para isso vamos calcular o gradiente de f, igualar a zero para achar os pontos críticos e depois usar a matriz Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Vamos montar o sistema \nabla f=0. Primeiro as derivadas parciais:
\frac{\partial f}{\partial x}=20x+30y,
\frac{\partial f}{\partial y}=30x+50y+40y^{4}.
O sistema de equações é
\begin{cases} 20x+30y=0,\\\\ 30x+50y+40y^{4}=0. \end{cases}

Passo 3

Da primeira equação temos
20x+30y=0 \implies x=-\frac{30}{20}\,y=-\tfrac{3}{2}y.
Substituindo em \dfrac{\partial f}{\partial y}=0:
30\bigl(-\tfrac{3}{2}y\bigr)+50y+40y^{4}=0 \implies -45y+50y+40y^{4}=0 \implies 5y+40y^{4}=0 \implies 5y\bigl(1+8y^{3}\bigr)=0.
Logo as soluções são
y=0 \quad\text{ou}\quad 1+8y^{3}=0\implies y=-\tfrac12.
E então
(x,y)=(0,0) \quad\text{ou}\quad \bigl(x,y\bigr)=\bigl(\tfrac34,\,-\tfrac12\bigr).

Passo 4

Para classificar, calculamos a Hessiana de f:
f_{xx}=20,\quad f_{xy}=30,\quad f_{yy}=50+160y^{3}.
O discriminante da Hessiana é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^{2} =20\bigl(50+160y^{3}\bigr)-30^{2} =1000+3200y^{3}-900 =100+3200y^{3}.

Passo 5

Avaliação em cada ponto crítico:
  1. Em (0,0) temos y^{3}=0, logo
    D(0,0)=100>0 \quad\text{e}\quad f_{xx}(0,0)=20>0.
    Como D>0 e f_{xx}>0, é mínimo local.
  2. Em \bigl(\tfrac34,-\tfrac12\bigr) temos y^{3}=-\tfrac18, logo
    D\Bigl(\tfrac34,-\tfrac12\Bigr) =100+3200\Bigl(-\tfrac18\Bigr) =100-400=-300<0.
    Como D<0, é ponto de sela.
Não aparece nenhuma condição que gere máximo local.

Resposta

O único mínimo local ocorre em (0,0).
Não há máximos locais.
Há um ponto de sela em \bigl(\tfrac34,-\tfrac12\bigr).

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