Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de Jacobi e pelo método de Gauss-Seidel. Faça seus cálculos com três casas decimais e para seis iterações e arredonde para cada multiplicação e cada divisão.
\left\{\begin{array}{l}6 x_{1}-x_{2}-2 x_{3}=12 \\\\ 3 x_{1}+5 x_{2}+x_{3}=3 \\\\ 2 x_{1}-x_{2}+7 x_{3}=36\end{array}\right.

Passo 1

Temos o sistema linear
\begin{cases} 6x_{1}-x_{2}-2x_{3}=12,\\\\ 3x_{1}+5x_{2}+x_{3}=3,\\\\ 2x_{1}-x_{2}+7x_{3}=36. \end{cases}
O conteúdo é métodos iterativos (Jacobi e Gauss–Seidel). Vamos partir do chute inicial
(x_{1}^{(0)},\,x_{2}^{(0)},\,x_{3}^{(0)})=(0,0,0),
garantindo que a matriz é estritamente diagonal dominante, o que assegura convergência nos dois métodos.

Passo 2

Derivamos as fórmulas de iteração de Jacobi isolando cada x_{i} na respectiva equação e usando somente os valores da iteração anterior:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{12 + x_{2}^{(k)} + 2\,x_{3}^{(k)}}{6}, \quad x_{2}^{(k+1)}=\frac{3 - 3\,x_{1}^{(k)} - x_{3}^{(k)}}{5}, \quad x_{3}^{(k+1)}=\frac{36 - 2\,x_{1}^{(k)} + x_{2}^{(k)}}{7}.
Em cada multiplicação e cada divisão, arredondamos a três casas decimais.

Passo 3

Aplicando seis iterações de Jacobi e arredondando cada multiplicação e divisão a três casas decimais, obtemos:
k x_{1}^{(k)} x_{2}^{(k)} x_{3}^{(k)}
0 0,000 0,000 0,000
1 2,000 0,600 5,143
2 3,814 -1,629 4,657
3 3,281 -2,620 3,820
4 2,837 -2,133 3,831
5 2,922 -1,868 4,028
6 3,031 -1,959 4,041

Passo 4

Para Gauss–Seidel usamos imediatamente os valores já atualizados dentro da mesma iteração. As fórmulas ficam:
x_{1}^{(k+1)}=\frac{12 + x_{2}^{(k)} + 2\,x_{3}^{(k)}}{6}, \quad x_{2}^{(k+1)}=\frac{3 - 3\,x_{1}^{(k+1)} - x_{3}^{(k)}}{5}, \quad x_{3}^{(k+1)}=\frac{36 - 2\,x_{1}^{(k+1)} + x_{2}^{(k+1)}}{7}.
Também arredondamos cada multiplicação e divisão a três casas.

Passo 5

Executando seis iterações de Gauss–Seidel com arredondamento a três casas a cada operação, obtemos:
k x_{1}^{(k)} x_{2}^{(k)} x_{3}^{(k)}
0 0,000 0,000 0,000
1 2,000 -0,600 4,486
2 3,395 -2,334 3,839
3 2,891 -1,902 4,045
4 3,031 -2,028 3,987
5 2,991 -1,992 4,004
6 3,003 -2,003 3,999

Resposta

Jacobi após 6 iterações:
(x_{1},x_{2},x_{3})\approx(3,031,\,-1,959,\,4,041).
Gauss–Seidel após 6 iterações:
(x_{1},x_{2},x_{3})\approx(3,003,\,-2,003,\,3,999).

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