Resolva os sistemas lineares abaixo pelo método de Jacobi e pelo método de Gauss-Seidel. Faça seus cálculos com três casas decimais e para seis iterações e arredonde para cada multiplicação e cada divisão.
Passo 1
Temos o sistema linear
O conteúdo é métodos iterativos (Jacobi e Gauss–Seidel). Vamos partir do chute inicial
garantindo que a matriz é estritamente diagonal dominante, o que assegura convergência nos dois métodos.
Passo 2
Derivamos as fórmulas de iteração de Jacobi isolando cada
na respectiva equação e usando somente os valores da iteração anterior:
Em cada multiplicação e cada divisão, arredondamos a três casas decimais.
Passo 3
Aplicando seis iterações de Jacobi e arredondando cada multiplicação e divisão a três casas decimais, obtemos:
|
|
|
|
---|---|---|---|
0 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
1 | 2,000 | 0,600 | 5,143 |
2 | 3,814 | -1,629 | 4,657 |
3 | 3,281 | -2,620 | 3,820 |
4 | 2,837 | -2,133 | 3,831 |
5 | 2,922 | -1,868 | 4,028 |
6 | 3,031 | -1,959 | 4,041 |
Passo 4
Para Gauss–Seidel usamos imediatamente os valores já atualizados dentro da mesma iteração. As fórmulas ficam:
Também arredondamos cada multiplicação e divisão a três casas.
Passo 5
Executando seis iterações de Gauss–Seidel com arredondamento a três casas a cada operação, obtemos:
|
|
|
|
---|---|---|---|
0 | 0,000 | 0,000 | 0,000 |
1 | 2,000 | -0,600 | 4,486 |
2 | 3,395 | -2,334 | 3,839 |
3 | 2,891 | -1,902 | 4,045 |
4 | 3,031 | -2,028 | 3,987 |
5 | 2,991 | -1,992 | 4,004 |
6 | 3,003 | -2,003 | 3,999 |
Resposta
Jacobi após 6 iterações:
Gauss–Seidel após 6 iterações: