Mostre que o sistema linear a seguir é impossível (SI) utilizando o método de escalonamento.
\left\{\begin{array}{l} x+y-z=1 \\ 2 x+2 y-2 z=3 \\ x-y+z=2 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} x+y-z=1,\\\\ 2x+2y-2z=3,\\\ x-y+z=2 \end{cases}
e pede para mostrar que ele é impossível usando escalonamento (eliminação de Gauss). Vamos montar a matriz aumentada e aplicar operações de linha para verificar se surge uma contradição.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada correspondente:
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 2 & 2 & -2 & 3\\\\ 1 & -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}
Usamos o elemento da posição (1,1) como pivô e eliminamos as entradas abaixo dele.

Passo 3

Aplicamos as operações
\text{R}_2 \leftarrow \text{R}_2 - 2\,\text{R}_1, \quad \text{R}_3 \leftarrow \text{R}_3 - \text{R}_1.
Isso leva a
\begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 & 1\\\\ 0 & 0 & 0 & 1\\\\ 0 & -2 & 2 & 1 \end{pmatrix}.
Da segunda linha extraímos a equação
0x + 0y + 0z = 1,
ou seja 0 = 1, que é uma contradição.

Passo 4

Como obtivemos a equação impossível 0=1, concluímos que o sistema não tem nenhuma solução. Logo, ele é impossível (SI).

Resposta

O sistema é impossível (SI).

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