Três partículas de massa m estão conectadas por 3 barras rígidas (de massa desprezível e comprimento l ). Encontre as forças (tensão ou compressão) nas barras e encontre também as forças de reação.

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos três partículas, cada uma com massa , nos vértices de um triângulo equilátero de aresta . Os vértices estão ligados por três barras rígidas e sem massa (arestas do triângulo). O sistema está em repouso sob o peso das partículas ( para cada uma) e apoiado por um pino em cada um dos dois vértices da base (vamos chamar esses vértices de e ; o vértice de cima é ).
Conteúdo: equilíbrio estático, diagrama de corpo livre em nós, decomposição de forças vetoriais.
O que vamos precisar:
  • Desenhar o diagrama de forças em cada nó (cada partícula).
  • Montar somas vetoriais de forças igual a zero ( ).
  • Usar simetria do triângulo para simplificar.

Passo 2

Diagrama de forças em T,hat uCA ;+;T,hat uCB;+;(0,-mg);=;(0,0) :
  • A partícula lá em cima tem só o peso Tl(-tfrac12+tfrac12r)=0checkmark para baixo.
  • Ela está presa às barras Tl(-tfracraiz32-tfracraiz32r)-mg=0 ;;Longrightarrow;; -,T,raiz3 - mg=0 ;;Longrightarrow;; T=mgraiz3 e TAC=TBC=mgraiz3 , que exercem forças ao longo delas. Pela simetria do triângulo equilátero, essas duas tensões têm o mesmo módulo, vamos chamar de .
  • A direção é:
    • em , do nó para : vetor unitário ,
    • em , do nó para : vetor unitário .
Equilíbrio em :
Projeta em :
Projeta em :
Logo, as barras e estão tracionadas com

Passo 3

Agora olha o nó H,(1,0);+;Tl(tfrac12,tfracraiz32r);+;(0,-mg);+;(RAx,RAy);=;(0,0) :
  • Peso da partícula em H + Tcdottfrac12 + RAx = 0 : Tcdottfracraiz32 - mg + RAy = 0 .
  • Força da barra 2H + Tl(tfrac12+tfrac12r)=0 ;;Longrightarrow;; 2H + T=0 ;;Longrightarrow;; H=- T2 = -mg2raiz3 sobre FAB = l|Hr| = mg2raiz3 (compressão) : módulo na direção de , vetor unitário .
  • Força da barra sobre : vamos chamar de (positiva se for tração, negativa se for compressão); ela age ao longo de , ou seja .
  • Reação do pino em : .
Equilíbrio em :
Projeta em :
Projeta em :
Faz o mesmo em (é simétrico a , então é o mesmo e as reações no pino serão iguais em módulo às de , só muda sinal de algumas componentes).
Mas há um atalho: somando as equações horizontais de e e lembrando que não há força horizontal externa, vem
O sinal negativo diz que é compressão. Então
ã

Passo 4

Ainda em T,raiz32-mg+RAy=0 ;;Longrightarrow;; RAy = mg - Traiz32 = mg - mgraiz3,raiz32 = mg - mg2 = mg2 , usamos a equação vertical para achar RAx = -l(H + tfrac T2r) = -l(-tfracmg2raiz3 + tfrac12,tfracmgraiz3r) =0 :
RBx=0, RBy=mg2
E da projeção em :
Por simetria, no pino vem

Resposta

  • Barras e : tração
  • Barra : compressão
  • Reações nos apoios:

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