Mostre que a solução
do P.V.I. dado, existe no intervalo especificado:
, para
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial
, com condição inicial
, e pede para mostrar que a solução
existe no intervalo
.
Informações dadas:
- A equação diferencial é
. - A condição inicial é
. - O intervalo pedido é
.
Observação numérica útil (extraída do próprio enunciado):
, portanto o intervalo pedido é
.
Passo 2
Primeiro fato (existência local): a função do lado direito
é contínua em para todo
. Pelo teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf (teorema de existência local), a partir de
existe uma solução única definida em algum intervalo aberto contendo
. Ou seja, existe
tal que
existe para
.
é contínua em
Explicando esse teorema de forma simples: se a função do lado direito for contínua em
e localmente Lipschitz em
perto do ponto inicial, então há uma solução única que passa por esse ponto inicial. Aqui
é suave, então a hipótese é satisfeita.
Passo 3
Precisamos mostrar que essa solução local pode ser estendida até
. O único obstáculo para estender uma solução de uma EDO é que ela possa “explodir” (tornar-se infinita) em um tempo finito. Para evitar isso, vamos obter um limite superior explícito para
em
.
Antes de comparar com outras funções, notemos algo sobre o sinal de
. Em
temos
e
.
Vou mostrar que para todo
enquanto a solução existir. Suponha, por contradição, que exista
com
. Pela continuidade de
existe o menor
tal que
e
para
e logo após
a função mudaria de sinal para negativa. Mas no ponto
tem-se
,
ou seja, imediatamente após a solução deve aumentar, não diminuir; isso contradiz a hipótese de passar para valores negativos. Portanto não existe tal
e concluímos que
para todo
enquanto a solução existir.
Vou mostrar que
ou seja, imediatamente após
Esse argumento usa apenas continuidade e o fato de
.
Passo 4
Agora vamos comparar
com a solução de uma EDO mais simples que podemos resolver explicitamente. Note que, para todo
,
.
Logo, para e como já sabemos
,
Logo, para
Considere a EDO auxiliar
Essa equação é separável. Separe e integre:
Impondo
obtém-se
, logo
A função
é bem definida e finita enquanto
, isto é, para
. Em particular
, portanto
é finita em todo o intervalo
.
Passo 5
Comparação entre
e
: temos
e
. Queremos concluir que
para
.
Defina
. Então
e, quase em cada ponto,
Como
e
, obtemos
No intervalo considerado temos
. Agora raciocine por contradição: suponha que existisse
com
. Pelo fato de
e continuidade haveria um primeiro ponto
em que
e para
pequeno teríamos
. Mas no ponto
a desigualdade
implica
, isto é,
não pode sair de zero entrando em valores negativos. Contradição. Portanto
para todo
enquanto as soluções existirem, o que dá
em
.
Resumo:
para
.
Passo 6
Como
é finita em
e
, a solução
fica então confinada a um conjunto compacto do tipo
. Nessa caixa a função
é contínua e tem derivada parcial em
,
, contínua e portanto limitada na caixa. Assim
é Lipschitz em
nessa região e a solução pode ser estendida sem explodir até toda a borda do intervalo em
. Em particular, a solução globalmente definida a partir de
estende-se até
.
Portanto não há nenhum problema de existência (nem de unicidade) no intervalo pedido.
Resposta
A solução existe (e é única) para todo
em
.