Mostre que a solução y(t) do P.V.I. dado, existe no intervalo especificado:
\dot{y}=e^{-t^{2}}+y^{2}, \operatorname{com} y(1)=0, para 1 \leq t \leq 1+\sqrt{\frac{2}{2}}

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
\dot{y}=e^{-t^{2}}+y^{2}, com condição inicial y(1)=0, e pede para mostrar que a solução y(t) existe no intervalo 1\le t\le 1+\sqrt{\dfrac{2}{2}}.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é \dot{y}=e^{-t^{2}}+y^{2}.
  • A condição inicial é y(1)=0.
  • O intervalo pedido é 1\le t\le 1+\sqrt{\dfrac{2}{2}}.
Observação numérica útil (extraída do próprio enunciado): \sqrt{\dfrac{2}{2}}=\sqrt{1}=1, portanto o intervalo pedido é 1\le t\le 2.

Passo 2

Primeiro fato (existência local): a função do lado direito
\,f(t,y)=e^{-t^{2}}+y^{2}\,
é contínua em (t,y) para todo t,y\in\mathbb{R}. Pelo teorema de existência e unicidade de Picard–Lindelöf (teorema de existência local), a partir de t=1 existe uma solução única definida em algum intervalo aberto contendo t=1. Ou seja, existe \varepsilon>0 tal que y(t) existe para t\in(1-\varepsilon,1+\varepsilon).
Explicando esse teorema de forma simples: se a função do lado direito for contínua em t e localmente Lipschitz em y perto do ponto inicial, então há uma solução única que passa por esse ponto inicial. Aqui f é suave, então a hipótese é satisfeita.

Passo 3

Precisamos mostrar que essa solução local pode ser estendida até t=2. O único obstáculo para estender uma solução de uma EDO é que ela possa “explodir” (tornar-se infinita) em um tempo finito. Para evitar isso, vamos obter um limite superior explícito para y(t) em [1,2].
Antes de comparar com outras funções, notemos algo sobre o sinal de y. Em t=1 temos y(1)=0 e
\dot{y}(1)=e^{-1}+0>0.
Vou mostrar que y(t)\ge 0 para todo t\ge 1 enquanto a solução existir. Suponha, por contradição, que exista t_1>1 com y(t_1)<0. Pela continuidade de y existe o menor t^*>1 tal que y(t^*)=0 e y(t)>0 para t\in[1,t^*) e logo após t^* a função mudaria de sinal para negativa. Mas no ponto t^* tem-se
\dot{y}(t^*)=e^{-(t^*)^{2}}+y(t^*)^{2}=e^{-(t^*)^{2}}>0,
ou seja, imediatamente após t^* a solução deve aumentar, não diminuir; isso contradiz a hipótese de passar para valores negativos. Portanto não existe tal t_1 e concluímos que y(t)\ge 0 para todo t\ge 1 enquanto a solução existir.
Esse argumento usa apenas continuidade e o fato de e^{-t^2}>0.

Passo 4

Agora vamos comparar y com a solução de uma EDO mais simples que podemos resolver explicitamente. Note que, para todo t,
\,e^{-t^{2}}\le 1.
Logo, para t\ge 1 e como já sabemos y(t)\ge 0,
\dot{y}(t)=e^{-t^{2}}+y(t)^{2}\le 1 + y(t)^{2}.
Considere a EDO auxiliar
\dot{z}=1+z^{2},\qquad z(1)=0.
Essa equação é separável. Separe e integre:
\frac{dz}{1+z^{2}}=dt \quad\Rightarrow\quad \arctan z = t + C.
Impondo z(1)=0 obtém-se C=-1, logo
\arctan z = t-1 \quad\Rightarrow\quad z(t)=\tan(t-1).
A função z(t)=\tan(t-1) é bem definida e finita enquanto t-1<\dfrac{\pi}{2}, isto é, para t<1+\dfrac{\pi}{2}. Em particular 1+\dfrac{\pi}{2}\approx 2{,}5708>2, portanto z(t) é finita em todo o intervalo [1,2].

Passo 5

Comparação entre y e z: temos \dot{y}\le 1+y^{2}=\dot{z} e y(1)=z(1)=0. Queremos concluir que y(t)\le z(t) para t\in[1,2].
Defina w(t)=z(t)-y(t). Então w(1)=0 e, quase em cada ponto,
w'(t)=\dot{z}(t)-\dot{y}(t)=(1+z^{2})-(e^{-t^{2}}+y^{2})\ge (1-e^{-t^{2}})+(z^{2}-y^{2}).
Como 1-e^{-t^{2}}\ge 0 e z^{2}-y^{2}=(z-y)(z+y)=w(z+y), obtemos
w'(t)\ge w(t)\,(z(t)+y(t)).
No intervalo considerado temos z+y\ge 0. Agora raciocine por contradição: suponha que existisse t_0>1 com w(t_0)<0. Pelo fato de w(1)=0 e continuidade haveria um primeiro ponto t^*>1 em que w(t^*)=0 e para t>t^* pequeno teríamos w(t)<0. Mas no ponto t^* a desigualdade w'(t^*)\ge w(t^*)(z+y)=0 implica w'(t^*)\ge 0, isto é, w não pode sair de zero entrando em valores negativos. Contradição. Portanto w(t)\ge 0 para todo t\ge 1 enquanto as soluções existirem, o que dá y(t)\le z(t) em [1,2].
Resumo: 0\le y(t)\le z(t)=\tan(t-1) para t\in[1,2].

Passo 6

Como z(t) é finita em [1,2] e y(t)\le z(t), a solução y(t) fica então confinada a um conjunto compacto do tipo [1,2]\times[0,\tan(1)]. Nessa caixa a função f(t,y)=e^{-t^{2}}+y^{2} é contínua e tem derivada parcial em y, \partial f/\partial y=2y, contínua e portanto limitada na caixa. Assim f é Lipschitz em y nessa região e a solução pode ser estendida sem explodir até toda a borda do intervalo em t. Em particular, a solução globalmente definida a partir de t=1 estende-se até t=2.
Portanto não há nenhum problema de existência (nem de unicidade) no intervalo pedido.

Resposta

A solução existe (e é única) para todo t em [1,1+\sqrt{\tfrac{2}{2}}]=[1,2].

Exercícios relacionados