Aproxime a soma das séries para a precisão indicada.
15.
(quatro casas decimais)
15.
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede uma aproximação da soma com precisão de quatro casas decimais (ou seja, quatro dígitos depois da vírgula). Vou listar explicitamente o que está sendo pedido e o que temos:
- Série a somar:
. - Precisão exigida: quatro casas decimais (ou seja, erro menor que
para garantir arredondamento correto). - Objetivo: encontrar um número aproximado
tal que .
Passo 2
Reconhecer a forma da série comparando com a série de Taylor (Maclaurin) da função
. A expansão em série de potências de
em torno de
é
Se tomarmos
obtemos
Fazendo a mudança de índice
temos exatamente
Portanto a soma exata da série é
(com
em radianos).
Passo 3
Como queremos apenas uma aproximação com quatro casas decimais, vamos usar a propriedade da série alternada: se
é uma sequência positiva, monótona decrescente e com
, então para a série alternada
o resto absoluto ao truncar após
termos satisfaz
Aqui
. Note que
,
e
, então a estimativa acima vale. Para garantir quatro casas decimais corretas no arredondamento precisamos que
Passo 4
Aplicar a desigualdade
e encontrar um
que satisfaça. Vamos testar valores de
calculando
:
- Para
: (não serve). - Para
: (não serve). - Para
: (não serve). - Para
: . Então
Portanto truncar após
termos garante erro menor que
. Ou seja, somando os primeiros 4 termos obtemos precisão suficiente.
Passo 5
Calcular a soma parcial com
termos: os termos são
Somando passo a passo:
Logo a soma parcial
.]
Passo 6
Usar o teto do erro:
. Portanto o valor exato
satisfaz
Ambos os extremos, ao arredondar para quatro casas decimais, dão
(porque a quarta casa decimal é
e o quinto dígito é
ou
, que leva ao arredondamento para
). Portanto com segurança a soma arredondada a quatro casas decimais é
.