Aproxime a soma das séries para a precisão indicada.
15. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{(2 n-1)!} (quatro casas decimais)

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}
e pede uma aproximação da soma com precisão de quatro casas decimais (ou seja, quatro dígitos depois da vírgula). Vou listar explicitamente o que está sendo pedido e o que temos:
  • Série a somar: \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}.
  • Precisão exigida: quatro casas decimais (ou seja, erro menor que 0{,}5\times10^{-4}=0{,}00005 para garantir arredondamento correto).
  • Objetivo: encontrar um número aproximado S tal que |S-\text{soma real}|<0{,}00005.

Passo 2

Reconhecer a forma da série comparando com a série de Taylor (Maclaurin) da função \sin x. A expansão em série de potências de \sin x em torno de 0 é
\sin x=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{x^{2k+1}}{(2k+1)!}.
Se tomarmos x=1 obtemos
\sin 1=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{1^{2k+1}}{(2k+1)!}=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\frac{1}{(2k+1)!}.
Fazendo a mudança de índice n=k+1 temos exatamente
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n-1}}{(2n-1)!}=\sin 1.
Portanto a soma exata da série é \sin 1 (com 1 em radianos).

Passo 3

Como queremos apenas uma aproximação com quatro casas decimais, vamos usar a propriedade da série alternada: se \{a_n\} é uma sequência positiva, monótona decrescente e com a_n\to0, então para a série alternada \sum(-1)^{n-1}a_n o resto absoluto ao truncar após N termos satisfaz
|R_N|\le a_{N+1}.
Aqui a_n=\dfrac{1}{(2n-1)!}. Note que a_n>0, a_{n+1}<a_n e a_n\to0, então a estimativa acima vale. Para garantir quatro casas decimais corretas no arredondamento precisamos que
a_{N+1}\le 0{,}00005.

Passo 4

Aplicar a desigualdade a_{N+1}=\dfrac{1}{(2(N+1)-1)!}=\dfrac{1}{(2N+1)!}\le0{,}00005 e encontrar um N que satisfaça. Vamos testar valores de N calculando (2N+1)!:
  • Para N=1: (2\cdot1+1)!=3!=6 (não serve).
  • Para N=2: 5!=120 (não serve).
  • Para N=3: 7!=5040 (não serve).
  • Para N=4: 9!=362880. Então
\frac{1}{9!}=\frac{1}{362880}\approx0{,}0000027557<0{,}00005.
Portanto truncar após N=4 termos garante erro menor que 0{,}00005. Ou seja, somando os primeiros 4 termos obtemos precisão suficiente.

Passo 5

Calcular a soma parcial com N=4 termos: os termos são
\begin{aligned} \text{termo }n=1&:\quad \frac{(-1)^{0}}{1!}=1,\\[4pt] \text{termo }n=2&:\quad \frac{(-1)^{1}}{3!}=-\frac{1}{6}=-0{,}1666666667,\\[4pt] \text{termo }n=3&:\quad \frac{(-1)^{2}}{5!}=\frac{1}{120}=0{,}008333333333,\\[4pt] \text{termo }n=4&:\quad \frac{(-1)^{3}}{7!}=-\frac{1}{5040}\approx-0{,}0001984126984. \end{aligned}
Somando passo a passo:
1-0{,}1666666667=0{,}8333333333,
0{,}8333333333+0{,}008333333333=0{,}841666666633,
0{,}841666666633-0{,}0001984126984\approx0{,}8414682539346.
Logo a soma parcial S_4\approx0{,}8414682539346.]

Passo 6

Usar o teto do erro: |R_4|\le \dfrac{1}{9!}\approx0{,}0000027557. Portanto o valor exato S=\sin 1 satisfaz
0{,}8414682539346 \le S \le 0{,}8414682539346+0{,}0000027557319 \approx 0{,}8414710096663.
Ambos os extremos, ao arredondar para quatro casas decimais, dão 0{,}8415 (porque a quarta casa decimal é 4 e o quinto dígito é 6 ou 7, que leva ao arredondamento para 5). Portanto com segurança a soma arredondada a quatro casas decimais é 0{,}8415.

Resposta

0{,}8415

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