Determine se a série é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
16. \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1) 5^{n}}{n 3^{2 n}}

Passo 1

O enunciado pede para classificar a série quanto à convergência: se é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. A série dada é
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(n+1)5^{n}}{n\,3^{2n}}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O termo geral é a_n=\dfrac{(n+1)5^{n}}{n\,3^{2n}}.
  • A série é com n inteiro positivo, n\ge1.
  • Não há sinal alternado explícito (os termos são positivos, como veremos).

Passo 2

Vamos simplificar o termo geral para enxergar melhor o comportamento. Note que 3^{2n}=(3^2)^n=9^n. Assim
a_n=\frac{(n+1)5^{n}}{n\,9^{n}}=\frac{n+1}{n}\left(\frac{5}{9}\right)^{n}.
Também podemos escrever \dfrac{n+1}{n}=1+\dfrac{1}{n}, então
a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{5}{9}\right)^{n}.
Repare que para todo n\ge1 temos a_n>0.

Passo 3

Lembrete sobre convergência absoluta: uma série \sum a_n é absolutamente convergente se \sum |a_n| converge. Aqui os a_n já são positivos, logo |a_n|=a_n. Portanto, para esta série não há diferença entre convergência e convergência absoluta — se a série de termos positivos converge, ela é automaticamente absolutamente convergente. Assim basta mostrar que
\sum_{n=1}^{\infty} a_n=\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{5}{9}\right)^{n}
converge.

Passo 4

Recordando a série geométrica: a série \sum_{n=1}^{\infty} r^{n} converge se, e somente se, |r|<1. Nesse caso ela converge e tem soma finita. Aqui o fator geométrico presente é \left(\dfrac{5}{9}\right)^{n} com razão r=\dfrac{5}{9}. Como \left|\dfrac{5}{9}\right|=\dfrac{5}{9}<1, a série geométrica \sum (5/9)^{n} converge.

Passo 5

Aplicando um teste de comparação simples (muito usado em prova): para n\ge1 vale
1+\frac{1}{n}\le 2.
Multiplicando por (5/9)^n obtemos
0\le a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)\left(\frac{5}{9}\right)^{n}\le 2\left(\frac{5}{9}\right)^{n}.
Como a série \sum_{n=1}^{\infty} 2\left(\dfrac{5}{9}\right)^{n}=2\sum_{n=1}^{\infty}\left(\dfrac{5}{9}\right)^{n} é uma constante vezes uma série geométrica convergente, ela converge. Pelo teste da comparação (se 0\le a_n\le b_n e \sum b_n converge, então \sum a_n converge), concluímos que \sum a_n converge.

Passo 6

Alternativa (opcional e útil para a prova): usar o teste da comparação por limite. Calcule
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{\left(\dfrac{5}{9}\right)^{n}} =\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)=1.
Como a série \sum (5/9)^{n} converge e o limite acima é finito e não nulo, pela comparação de limite a série \sum a_n também converge. Isso confirma o resultado anterior.

Passo 7

Conclusão didática para a prova: a série tem termo equivalente a uma constante vezes (5/9)^n (com fator \to1), e portanto decai geometricamente. Assim ela é convergente e, por ser de termos não negativos, é absolutamente convergente. Dica prática: na prova, já que \dfrac{5}{9}<1, perceber a forma \left(1+\dfrac{1}{n}\right)\left(\dfrac{5}{9}\right)^n é meio caminho andado — compare com uma geométrica.

Resposta

absolutamente convergente

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