Resolva a equação diferencial dada por separação de variável.
\frac{d y}{d t}=3 y t^{2}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\frac{dy}{dt} = 3\,y\,t^{2}
e pede solução por separação de variáveis. Aqui o conteúdo é reconhecer que é uma ODE separável, ou seja, podemos escrever todos os termos com y de um lado e todos os termos com t do outro para depois integrar.

Passo 2

Separamos as variáveis y e t:
\frac{1}{y}\,dy = 3\,t^{2}\,dt.

Passo 3

Integramos ambos os lados:
\int \frac{1}{y}\,dy = \int 3\,t^{2}\,dt.
No lado esquerdo, \int \frac1y\,dy = \ln\lvert y\rvert. No lado direito, \int 3\,t^{2}\,dt = t^{3} + C_{1}. Logo,
\ln\lvert y\rvert = t^{3} + C_{1}.

Passo 4

Para isolar y, aplicamos a função exponencial em ambos os lados:
\lvert y\rvert = e^{\,t^{3}+C_{1}} = e^{C_{1}}\,e^{t^{3}}.
Como e^{C_{1}} é uma constante positiva, podemos chamar C = \pm e^{C_{1}} (constante real arbitrária). Assim,
y(t) = C\,e^{t^{3}}.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
y(t) = C\,e^{t^{3}},
onde C é uma constante de integração.

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