1. Mostre que a solução do problema y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0, y(0)=a, y^{\prime}(0)=b tende para uma constante quando t \rightarrow+\infty. Determine esta constante.
  2. Mostre que se 0<b<2, então toda solução de y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+y=0 tende a zero quando t \rightarrow+\infty.
  3. Considere o problema y^{\prime \prime}-4 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)= b \neq 0. Mostre que y(t) \neq 0 para todo t \neq 0.
  4. Considere o problema y^{\prime \prime}-y^{\prime}+\frac{1}{4} y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=b. Determine os valores de b para os quais a solução y(t) \rightarrow+\infty quando t \rightarrow+\infty.

Passo 1

Resumindo: temos a EDO
y''+2y'=0,
com condições iniciais y(0)=a e y'(0)=b.
Conteúdo: equação linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos a equação característica associada:
r^2+2r=0 \quad\Longrightarrow\quad r\,\bigl(r+2\bigr)=0 \quad\Longrightarrow\quad r_1=0,\;r_2=-2.
Logo, a solução geral é
y(t)=C_1e^{0\cdot t}+C_2e^{-2t}=C_1 + C_2e^{-2t}.

Passo 3

Aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
De y(0)=a vem
C_1 + C_2 = a.
De y'(t)=-2C_2e^{-2t} e y'(0)=b vem
-2C_2 = b \quad\Longrightarrow\quad C_2 = -\frac{b}{2}.
Substituindo em C_1+C_2=a
C_1 = a - C_2 = a + \frac{b}{2}.

Passo 4

Portanto
y(t) =\Bigl(a+\tfrac{b}{2}\Bigr) \;+\;\Bigl(-\tfrac{b}{2}\Bigr)e^{-2t} \;=\;a+\frac{b}{2}-\frac{b}{2}\,e^{-2t}.

Passo 5

Quando t\to+\infty temos e^{-2t}\to0, logo
\lim_{t\to+\infty}y(t) =a+\frac{b}{2}.

Passo 6

Resumindo:
y''+b\,y'+y=0,
com 0<b<2.
Conteúdo: equação linear homogênea de segunda ordem, raízes complexas.

Passo 7

A equação característica é
r^2+b\,r+1=0,
com discriminante
\Delta = b^2-4<0 \quad(\text{pois }b^2<4).
Logo as raízes são complexas conjugadas:
r = \frac{-b}{2}\pm i\,\frac{\sqrt{4-b^2}}{2}.

Passo 8

A solução geral é
y(t) = e^{-\tfrac{b}{2}t}\Bigl(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)\Bigr),
onde \displaystyle \omega=\frac{\sqrt{4-b^2}}{2}.

Passo 9

O fator exponencial e^{-\tfrac{b}{2}t} decai para zero quando t\to+\infty (já que b>0). Os termos \cos(\omega t) e \sin(\omega t) ficam limitados, então
\lim_{t\to+\infty}y(t)=0.

Passo 10

Resumindo:
y''-4y=0, \quad y(0)=2,\;y'(0)=b\neq0.
Conteúdo: EDO linear com raízes reais opostas.

Passo 11

Equação característica:
r^2-4=0 \quad\Longrightarrow\quad r=\pm2.
Solução geral:
y(t)=C_1e^{2t}+C_2e^{-2t}.

Passo 12

Usando y(0)=2 e y'(t)=2C_1e^{2t}-2C_2e^{-2t}, de y(0)=2 vem
C_1+C_2=2,
e de y'(0)=b vem
2C_1-2C_2=b \quad\Longrightarrow\quad C_1-C_2=\frac{b}{2}.
Resolvendo:
C_1=1+\frac{b}{4}, \quad C_2=1-\frac{b}{4}.

Passo 13

Portanto
y(t) =\Bigl(1+\tfrac{b}{4}\Bigr)e^{2t} +\Bigl(1-\tfrac{b}{4}\Bigr)e^{-2t}.
Cada termo e^{\pm2t} é sempre positivo. Se 1+b/4 e 1 - b/4 têm o mesmo sinal, a soma nunca zera. De fato,
\Bigl(1+\tfrac{b}{4}\Bigr)\Bigl(1-\tfrac{b}{4}\Bigr) =1-\frac{b^2}{16}.
Para \lvert b\rvert<4 esse produto é positivo, logo ambos os coeficientes têm o mesmo sinal e y(t)\neq0 para todo t.

Passo 14

Resumindo:
y''-y'+\tfrac14\,y=0, \quad y(0)=0,\;y'(0)=b.
Conteúdo: raiz dupla na característica.

Passo 15

A equação característica é
r^2 - r + \tfrac14 =0 \;\Longrightarrow\;(r-\tfrac12)^2=0 \;\Longrightarrow\;r=\tfrac12\;\text{(dupla)}.

Passo 16

Para raiz dupla r_0=\tfrac12, a solução geral é
y(t) =\bigl(C_1 + C_2\,t\bigr)e^{t/2}.
As condições iniciais dão y(0)=C_1=0 e
y'(t) =C_2 e^{t/2} + \tfrac12(C_1+C_2t)e^{t/2},
logo em t=0, y'(0)=C_2=b. Portanto
y(t)=b\,t\,e^{t/2}.

Passo 17

Quando t\to+\infty, t\,e^{t/2}\to+\infty.
  • Se b>0, então y(t)\to+\infty.
  • Se b<0, então y(t)\to-\infty.

Resposta

A solução diverge para +\infty exatamente quando b>0.

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