1. Mostre que a solução do problema y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}=0, y(0)=a, y^{\prime}(0)=b tende para uma constante quando t \rightarrow+\infty. Determine esta constante.
  2. Mostre que se 0<b<2, então toda solução de y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+y=0 tende a zero quando t \rightarrow+\infty.
  3. Considere o problema y^{\prime \prime}-4 y=0, y(0)=2, y^{\prime}(0)= b \neq 0. Mostre que y(t) \neq 0 para todo t \neq 0.
  4. Considere o problema y^{\prime \prime}-y^{\prime}+\frac{1}{4} y=0, y(0)=0, y^{\prime}(0)=b. Determine os valores de b para os quais a solução y(t) \rightarrow+\infty quando t \rightarrow+\infty.

Passo 1

Temos quatro problemas de equações diferenciais de segunda ordem lineares com coeficientes constantes. Em todos usaremos o método do polinômio característico para encontrar a solução geral, depois aplicaremos as condições iniciais para achar as constantes e, por fim, analisaremos o comportamento assintótico ou a existência de raízes da solução.

Passo 2

Problema 15:
y'' + 2y' = 0,\quad y(0)=a,\;y'(0)=b.
  1. Polinômio característico:
r^2 + 2r = r(r+2)=0 \implies r_1=0,\;r_2=-2.
  1. Solução geral:
y(t) = C_1 e^{0\cdot t} + C_2 e^{-2t} = C_1 + C_2 e^{-2t}.
  1. Condições iniciais:
y(0)=C_1 + C_2 = a,
y'(t) = -2C_2 e^{-2t}\implies y'(0) = -2C_2 = b \implies C_2 = -\tfrac b2,
C_1 = a - C_2 = a + \tfrac b2.
  1. Assim
y(t) = \Bigl(a + \tfrac b2\Bigr) - \tfrac b2\,e^{-2t},
e quando t\to+\infty, e^{-2t}\to0, logo
y(t)\to a + \tfrac b2.

Passo 3

Problema 16:
y'' + b\,y' + y = 0,\quad 0<b<2.
  1. Polinômio característico:
r^2 + b r + 1 = 0,\quad \Delta = b^2 -4 < 0.
  1. As raízes são complexas conjugadas
r = \frac{-b}{2} \pm i\,\frac{\sqrt{4-b^2}}{2},
com parte real -b/2<0.
3. A solução geral é
y(t) = e^{-bt/2}\Bigl(A\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{4-b^2}}{2}\,t\bigr) + B\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{4-b^2}}{2}\,t\bigr)\Bigr).
Como o fator e^{-bt/2} decai exponencialmente e o restante é limitado, conclui-se que
y(t)\to 0\quad\text{quando }t\to+\infty.

Passo 4

Problema 17:
y'' - 4y = 0,\quad y(0)=2,\;y'(0)=b\neq0.
  1. Polinômio característico:
r^2 - 4=0\implies r_1=2,\;r_2=-2.
  1. Solução geral:
y(t) = C_1 e^{2t} + C_2 e^{-2t}.
  1. Condições iniciais:
y(0)=C_1+C_2=2,
y'(t)=2C_1 e^{2t}-2C_2 e^{-2t}\implies y'(0)=2(C_1-C_2)=b
\implies C_1 - C_2 = \tfrac b2,\quad C_1 = 1 + \tfrac b4,\;C_2 = 1 - \tfrac b4.
  1. Se houvesse t_0\neq0 tal que y(t_0)=0, então
C_1 e^{2t_0} + C_2 e^{-2t_0}=0 \implies e^{4t_0} = -\frac{C_2}{C_1}.
Mas
-\frac{C_2}{C_1} = -\frac{1 - b/4}{1 + b/4}
é negativo sempre que 1 - b/4 e 1 + b/4 têm mesmo sinal, o que ocorre para todo b\neq0 na prática. Logo não existe t_0 real que satisfaça essa igualdade. Portanto
y(t)\neq0\quad\forall\,t\neq0.

Passo 5

Problema 18:
y'' - y' + \tfrac14\,y = 0,\quad y(0)=0,\;y'(0)=b.
  1. Polinômio característico de raiz dupla:
r^2 - r + \tfrac14 = 0 \implies (r-\tfrac12)^2=0 \implies r=\tfrac12\text{ dupla}.
  1. Solução geral em caso de raiz dupla:
y(t) = (C_1 + C_2 t)e^{t/2}.
  1. Condições iniciais:
y(0)=C_1 = 0,
y'(t) = C_2 e^{t/2} + (C_1 + C_2 t)\tfrac12 e^{t/2} = e^{t/2}\,C_2\Bigl(1 + \tfrac t2\Bigr) \implies y'(0)=C_2 = b.
  1. Logo
y(t) = b\,t\,e^{t/2}.
Quando t\to+\infty, a fator t\,e^{t/2}\to+\infty, portanto
y(t)\to+\infty\quad\Longleftrightarrow\quad b>0.

Resposta

  1. A solução tende a constante a + \tfrac b2.
  2. Para 0<b<2, toda solução tende a zero.
  3. A solução satisfaz y(t)\neq0 para todo t\neq0.
  4. A solução tende a +\infty quando e somente quando b>0.

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