- Mostre que a solução do problema
,
tende para uma constante quando
. Determine esta constante.
- Mostre que se
, então toda solução de
tende a zero quando
.
- Considere o problema
. Mostre que
para todo
.
- Considere o problema
,
. Determine os valores de
para os quais a solução
quando
.
Passo 1
Temos quatro problemas de equações diferenciais de segunda ordem lineares com coeficientes constantes. Em todos usaremos o método do polinômio característico para encontrar a solução geral, depois aplicaremos as condições iniciais para achar as constantes e, por fim, analisaremos o comportamento assintótico ou a existência de raízes da solução.
Passo 2
Problema 15:
- Polinômio característico:
- Solução geral:
- Condições iniciais:
- Assim
e quando
,
, logo
Passo 3
Problema 16:
- Polinômio característico:
- As raízes são complexas conjugadas
com parte real
.
3. A solução geral é
3. A solução geral é
Como o fator
decai exponencialmente e o restante é limitado, conclui-se que
Passo 4
Problema 17:
- Polinômio característico:
- Solução geral:
- Condições iniciais:
- Se houvesse
tal que , então
Mas
é negativo sempre que
e
têm mesmo sinal, o que ocorre para todo
na prática. Logo não existe
real que satisfaça essa igualdade. Portanto
Passo 5
Problema 18:
- Polinômio característico de raiz dupla:
- Solução geral em caso de raiz dupla:
- Condições iniciais:
- Logo
Quando
, a fator
, portanto
Resposta
- A solução tende a constante
. - Para
, toda solução tende a zero. - A solução satisfaz
para todo . - A solução tende a
quando e somente quando .