Resolva as integrais, adotando a técnica de integração mais conveniente:
\int \frac{\ln x}{2 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \int \frac{\ln x}{2\,x}\,dx.
O conteúdo envolvido é integração de funções com logaritmo natural, e a técnica mais conveniente aqui é usar substituição para simplificar o integrando.

Passo 2

Tiramos a constante \tfrac12 para fora da integral:
\int \frac{\ln x}{2\,x}\,dx = \frac{1}{2}\,\int \frac{\ln x}{x}\,dx.

Passo 3

Fazemos a substituição
u = \ln x, \quad du = \frac{1}{x}\,dx.
Assim a integral vira
\frac{1}{2}\,\int u\,du.

Passo 4

Integramos em u:
\frac{1}{2}\,\int u\,du = \frac{1}{2}\,\cdot\frac{u^2}{2} + C = \frac{u^2}{4} + C.
Retornando a x (isto é, u=\ln x), obtemos
\frac{(\ln x)^2}{4} + C.

Resposta

\displaystyle \frac{(\ln x)^2}{4} + C

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