Mostre que a soma dos comprimentos dos segmentos, traçados desde um ponto qualquer na base de um triângulo isósceles até os outros dois lados e respectivamente perpendiculares a eles, é igual à altura correspondente a qualquer destes lados.
Passo 1
Temos um triângulo isósceles
com
e base
. Seja
um ponto qualquer em
. Traçamos de
as perpendiculares
a
e
a
. O objetivo é mostrar que
onde
é a altura relativa a qualquer um dos lados iguais
ou
. Para isso, usaremos a decomposição de áreas em triângulos.
Passo 2
Observe que o triângulo
pode ser particionado pelos segmentos
em dois triângulos menores,
e
. Pela aditividade de área,
Passo 3
No triângulo
,
é a altura relativa ao lado
. Logo,
De modo análogo, em
temos
Passo 4
Como
, somando as duas áreas obtemos
Passo 5
Por outro lado, a área de
também pode ser calculada usando a altura
relativa a
(ou a
), chamada de
. Assim,
Comparando com o resultado do Passo 4, temos