Mostre que a soma dos comprimentos dos segmentos, traçados desde um ponto qualquer na base de um triângulo isósceles até os outros dois lados e respectivamente perpendiculares a eles, é igual à altura correspondente a qualquer destes lados.

Passo 1

Temos um triângulo isósceles ABC com AB = AC e base BC. Seja P um ponto qualquer em BC. Traçamos de P as perpendiculares PD a AB e PE a AC. O objetivo é mostrar que
PD + PE = h,
onde h é a altura relativa a qualquer um dos lados iguais AB ou AC. Para isso, usaremos a decomposição de áreas em triângulos.

Passo 2

Observe que o triângulo ABC pode ser particionado pelos segmentos AP em dois triângulos menores, ABP e ACP. Pela aditividade de área,
\text{área}(ABC) \;=\; \text{área}(ABP)\;+\;\text{área}(ACP).ááá

Passo 3

No triângulo ABP, PD é a altura relativa ao lado AB. Logo,
\text{área}(ABP) \;=\;\frac{AB\cdot PD}{2}.á
De modo análogo, em ACP temos
\text{área}(ACP) \;=\;\frac{AC\cdot PE}{2}.á

Passo 4

Como AB = AC, somando as duas áreas obtemos
\text{área}(ABC) =\frac{AB\cdot PD}{2}+\frac{AC\cdot PE}{2} =\frac{AB}{2}\,\bigl(PD+PE\bigr).á

Passo 5

Por outro lado, a área de ABC também pode ser calculada usando a altura h relativa a AB (ou a AC), chamada de h_{C}. Assim,
\text{área}(ABC) =\frac{AB\cdot h_{C}}{2}.á
Comparando com o resultado do Passo 4, temos
\frac{AB}{2}\,(PD+PE) =\frac{AB\cdot h_{C}}{2} \quad\Longrightarrow\quad PD+PE = h_{C}.

Resposta

PD + PE = h, isto é, a soma dos comprimentos das perpendiculares traçadas de um ponto qualquer da base aos lados iguais de um triângulo isósceles é igual à altura correspondente a qualquer um desses lados.

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