Um trapézio é um quadrilátero em que dois lados são paralelos. Os lados paralelos são chamados bases do trapézio e os outros dois são chamados laterais. Um trapézio é isósceles se suas laterais são congrucntes. Mostre que, no trapézio isósceles A B C D com bases \overline{A B} e \overline{C D} e laterais não paralelos, tem-se \widehat{A} \cong \widehat{B} e \widehat{C} \cong \widehat{D}.
Passo 1
O enunciado fala de um trapézio ABCD em que \overline{AB}\parallel\overline{CD} e as laterais \overline{AD} e \overline{BC} são congruentes. Queremos mostrar que os dois ângulos junto à base AB, isto é,
\angle DAB\quad\text{e}\quad\angle ABC
são congruentes; e também que os dois ângulos junto à base CD, isto é,
\angle ADC\quad\text{e}\quad\angle BCD
são congruentes.
O conteúdo principal que usaremos é a distância entre retas paralelas (é constante) e congruência de triângulos retângulos pelo critério HL (hipotenusa = hipotenusa e um cateto = um cateto).
Passo 2
Como \overline{AB}\parallel\overline{CD}, a distância de qualquer ponto de CD até a reta AB é a mesma. Em particular, seja H o pé da perpendicular de D em AB e seja G o pé da perpendicular de C em AB. Então
DH\perp AB, \qquad CG\perp AB,
e
DH = CG
pela constância da distância entre retas paralelas.
Passo 3
Observe os triângulos retângulos \triangle DHA e \triangle CGB:
em \triangle DHA, a hipotenusa é AD e um cateto é DH,
em \triangle CGB, a hipotenusa é BC e um cateto é CG.
Como AD = BC (laterais congruentes) e DH = CG (distâncias iguais), pelo critério HL esses dois triângulos são congruentes.
Passo 4
Da congruência de \triangle DHA e \triangle CGB vem
\angle DAH \;\cong\;\angle CBG.
Mas \angle DAH e \angle DAB são complementares no triângulo retângulo \triangle DHA, isto é,
\angle DAH + \angle DAB = 90^\circ,
e de modo análogo em \triangle CGB
\angle CBG + \angle ABC = 90^\circ.
Como \angle DAH = \angle CBG, subtraindo de 90^\circ obtemos
\angle DAB = \angle ABC.
Passo 5
Para mostrar \angle ADC = \angle BCD, repetimos o mesmo raciocínio agora projetando A e B sobre a reta CD. Chamamos H' o pé da perpendicular de A em CD e G' o pé da perpendicular de B em CD. De novo obtemos dois triângulos retângulos congruentes (hipotenusas AD=BC e catetos AH'=BG'), e daí vem
\angle ADC = \angle BCD.
Resposta
\displaystyle \widehat A\cong\widehat B e \displaystyle \widehat C\cong\widehat D.