Sejam P_{3} o espaço dos polinômios de grau menor ou igual a 3, \beta=\left\{1, x, x^{2}, x^{3}\right\} e \beta^{\prime}=\left\{1,1-x,(1-x)^{2}, 1-x^{3}\right\} bases de P_{3}. Calcule [I]_{\beta}^{\beta^{\prime}} \mathrm{e}[I]_{\beta^{\prime}}^{\beta}.

Passo 1

O enunciado envolve o espaço P_{3} com as bases
\beta=\{1,\;x,\;x^{2},\;x^{3}\},
\beta'=\{\,b'_1=1,\;b'_2=1-x,\;b'_3=(1-x)^{2},\;b'_4=1-x^{3}\}.
Queremos duas matrizes de mudança de base:
  • [I]_{\beta}^{\beta'}, que leva coordenadas em \beta para coordenadas em \beta'.
  • [I]_{\beta'}^{\beta}, que leva coordenadas em \beta' para coordenadas em \beta.
    Para isso, vamos expressar cada vetor de uma base em função da outra.

Passo 2

Cálculo de [I]_{\beta}^{\beta'}: as colunas são as coordenadas, em \beta', de cada vetor de \beta.
  1. Para 1\in\beta: escrevemos
1 = 1\cdot b'_1 + 0\cdot b'_2 + 0\cdot b'_3 + 0\cdot b'_4,
logo a primeira coluna é \bigl[1,0,0,0\bigr]^{T}.
  1. Para x\in\beta: procuramos a,b,c,d tais que
x = a\cdot1 + b\,(1-x) + c\,(1-x)^{2} + d\,(1 - x^{3}).
Expandindo e igualando coeficientes, obtemos
a=1,\;b=-1,\;c=0,\;d=0,
então a segunda coluna é \bigl[1,-1,0,0\bigr]^{T}.
  1. Para x^{2}\in\beta: resolvemos
x^{2} = a\cdot1 + b\,(1-x) + c\,(1-x)^{2} + d\,(1 - x^{3}),
o que dá
a=1,\;b=-2,\;c=1,\;d=0,
logo a terceira coluna é \bigl[1,-2,1,0\bigr]^{T}.
  1. Para x^{3}\in\beta: resolvemos
x^{3} = a\cdot1 + b\,(1-x) + c\,(1-x)^{2} + d\,(1 - x^{3}),
o que dá
a=1,\;b=0,\;c=0,\;d=-1,
logo a quarta coluna é \bigl[1,0,0,-1\bigr]^{T}.
Juntando,
[I]_{\beta}^{\beta'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[6pt] 0 & -1 & -2 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 3

Cálculo de [I]_{\beta'}^{\beta}: agora as colunas são as coordenadas, em \beta, de cada vetor de \beta'.
  1. Para b'_1=1: em \beta isso é
1 = 1\cdot1 + 0\cdot x + 0\cdot x^{2} + 0\cdot x^{3},
coluna \bigl[1,0,0,0\bigr]^{T}.
  1. Para b'_2=1-x: em \beta
1-x = 1\cdot1 +(-1)\cdot x +0\cdot x^{2}+0\cdot x^{3},
coluna \bigl[1,-1,0,0\bigr]^{T}.
  1. Para b'_3=(1-x)^{2}=1-2x+x^{2}: em \beta
1-2x+x^{2} = 1\cdot1 +(-2)\cdot x +1\cdot x^{2} +0\cdot x^{3},
coluna \bigl[1,-2,1,0\bigr]^{T}.
  1. Para b'_4=1-x^{3}: em \beta
1-x^{3} = 1\cdot1 +0\cdot x +0\cdot x^{2} +(-1)\cdot x^{3},
coluna \bigl[1,0,0,-1\bigr]^{T}.
Assim
[I]_{\beta'}^{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[6pt] 0 & -1 & -2 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[6pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.]

Passo 4

Verificação rápida mostra que estas duas matrizes são inversas uma da outra. De fato, multiplicando uma pela outra obtém-se a identidade, e neste caso particular vemos que a matriz é involutória (ela própria é sua inversa).

Resposta

[I]_{\beta}^{\beta'} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[3pt] 0 & -1 & -2 & 0\\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[3pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}
e [I]_{\beta'}^{\beta} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1\\[3pt] 0 & -1 & -2 & 0\\[3pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[3pt] 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.]

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