Mostre por tabela - verdade a equivalência: p \rightarrow q \vee r \Leftrightarrow(p \rightarrow q) \vee(p \rightarrow r)

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar, por meio de tabela-verdade, que as fórmulas
p \to (q \vee r)
e
(p \to q)\vee(p \to r)
têm exatamente os mesmos valores lógicos em todas as possíveis atribuições de verdade para p, q e r. Vamos construir a tabela-verdade completa e comparar as duas colunas finais.

Passo 2

Montamos uma tabela com todas as combinações de (p,q,r) e as colunas necessárias:
q\vee r,\quad p\to(q\vee r),\quad p\to q,\quad p\to r,\quad (p\to q)\vee(p\to r).
p q r q\vee r p\to(q\vee r) p\to q p\to r (p\to q)\vee(p\to r)

Passo 3

Preenchendo as oito linhas em ordem binária de (p,q,r):
p q r q\vee r p\to(q\vee r) p\to q p\to r (p\to q)\vee(p\to r)
\text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V}
\text{V} \text{V} \text{F} \text{V} \text{V} \text{V} \text{F} \text{V}
\text{V} \text{F} \text{V} \text{V} \text{V} \text{F} \text{V} \text{V}
\text{V} \text{F} \text{F} \text{F} \text{F} \text{F} \text{F} \text{F}
\text{F} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V}
\text{F} \text{V} \text{F} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V}
\text{F} \text{F} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V}
\text{F} \text{F} \text{F} \text{F} \text{V} \text{V} \text{V} \text{V}

Passo 4

Observando a tabela, vemos que as colunas de p\to(q\vee r) e de (p\to q)\vee(p\to r) coincidem linha a linha: sempre dão \text{V} nas mesmas situações e \text{F} nas mesmas situações.

Resposta

Como ambas as fórmulas têm valores idênticos em todas as oito atribuições de verdade, concluímos que
p \to (q \vee r)\;\Leftrightarrow\;(p \to q)\vee(p \to r)
é uma equivalência lógica verdadeira (tautologia).

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