Mostre que
\tan ^{2} \frac{z}{2}=\frac{1-\cos z}{1+\cos z}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que
\tan^2\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr) \;=\;\frac{1-\cos z}{1+\cos z}.
O conteúdo necessário são as fórmulas de meio-ângulo, que vêm das identidades de cosseno de ângulo duplo.

Passo 2

Começamos pelas identidades de ângulo duplo para o cosseno:
\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha) \quad\Longrightarrow\quad \sin^2(\alpha)=\frac{1-\cos(2\alpha)}{2},
e
\cos(2\alpha)=2\cos^2(\alpha)-1 \quad\Longrightarrow\quad \cos^2(\alpha)=\frac{1+\cos(2\alpha)}{2}.

Passo 3

Agora fazemos \alpha=\tfrac{z}{2}, de modo que 2\alpha=z. Então
\sin^2\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr) =\frac{1-\cos z}{2},
\cos^2\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr) =\frac{1+\cos z}{2}.

Passo 4

Por definição,
\tan^2\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr) =\frac{\sin^2\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)}{\cos^2\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)},
logo
\tan^2\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr) =\frac{\frac{1-\cos z}{2}}{\frac{1+\cos z}{2}} =\frac{1-\cos z}{1+\cos z}.

Resposta

\tan^2\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr)=\frac{1-\cos z}{1+\cos z}.

Exercícios relacionados