Mostre que
\cos ^{2} \frac{z}{2}=\frac{1+\cos z}{2}

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade trigonométrica de ângulo metade
\cos^2\frac{z}{2} = \frac{1 + \cos z}{2}.
O conteúdo envolvido é a fórmula do cosseno da soma de ângulos e a relação fundamental \sin^2u + \cos^2u = 1.

Passo 2

Vamos usar a fórmula do cosseno da soma de dois ângulos, que diz
\cos(a+b) = \cos a \,\cos b - \sin a \,\sin b.

Passo 3

Aplicando essa fórmula com a=b=u, obtemos
\cos(2u) = \cos(u+u) = \cos^2u - \sin^2u.
Em seguida, substituímos \sin^2u = 1 - \cos^2u para escrever
\cos(2u) = \cos^2u - (1 - \cos^2u) = 2\cos^2u - 1.

Passo 4

Escolhendo u = \tfrac{z}{2}, a expressão anterior vira
\cos z = 2\cos^2\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr) - 1.

Passo 5

Agora é só isolar \cos^2\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr). Somando 1 a ambos os lados e dividindo por 2, resulta
\cos^2\!\bigl(\tfrac{z}{2}\bigr) = \frac{1 + \cos z}{2}.

Resposta

\cos^2\frac{z}{2} = \frac{1 + \cos z}{2}.

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