Mostre que
\tan (z \pm w)=\frac{\tan z \pm \tan w}{1 \mp \tan z \tan w}

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos as fórmulas de soma e diferença para a função tangente:
\tan(z + w)=\frac{\tan z + \tan w}{1 - \tan z\,\tan w} \quad\text{e}\quad \tan(z - w)=\frac{\tan z - \tan w}{1 + \tan z\,\tan w}.
Para isso vamos usar a definição \tan x = \frac{\sin x}{\cos x} e as fórmulas de adição para seno e cosseno.

Passo 2

Recordando a definição de tangente:
\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}.
Logo
\tan(z + w) = \frac{\sin(z + w)}{\cos(z + w)} \quad\text{e}\quad \tan(z - w) = \frac{\sin(z - w)}{\cos(z - w)}.

Passo 3

Usamos as fórmulas de adição de seno e cosseno:
\sin(z + w) = \sin z\,\cos w + \cos z\,\sin w,
\cos(z + w) = \cos z\,\cos w - \sin z\,\sin w.
Substituindo em \tan(z+w):
\tan(z + w) = \frac{\sin z\,\cos w + \cos z\,\sin w} {\cos z\,\cos w - \sin z\,\sin w}.
Agora dividimos numerador e denominador por \cos z\,\cos w:
\tan(z + w) = \frac{\displaystyle\frac{\sin z}{\cos z} + \frac{\sin w}{\cos w}} {\displaystyle 1 - \frac{\sin z}{\cos z}\,\frac{\sin w}{\cos w}} = \frac{\tan z + \tan w}{1 - \tan z\,\tan w}.

Passo 4

De modo análogo, para a diferença usamos
\sin(z - w) = \sin z\,\cos w - \cos z\,\sin w,
\cos(z - w) = \cos z\,\cos w + \sin z\,\sin w.
Então
\tan(z - w) = \frac{\sin z\,\cos w - \cos z\,\sin w} {\cos z\,\cos w + \sin z\,\sin w} = \frac{\displaystyle\frac{\sin z}{\cos z} - \frac{\sin w}{\cos w}} {\displaystyle 1 + \frac{\sin z}{\cos z}\,\frac{\sin w}{\cos w}} = \frac{\tan z - \tan w}{1 + \tan z\,\tan w}.

Resposta

\tan(z + w)=\frac{\tan z + \tan w}{1 - \tan z\,\tan w}, \qquad \tan(z - w)=\frac{\tan z - \tan w}{1 + \tan z\,\tan w}.

Exercícios relacionados