Mostre que a taxa de variação de
é proporcional a
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a taxa de variação de
é proporcional a
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função é
. - Quer-se mostrar que a derivada
é um múltiplo de , isto é, que existe uma constante tal que .
Passo 2
Vou transformar a expressão para uma forma que facilita a diferenciação. Uso a identidade geral
válida para
e qualquer função
. Aplicando para cada fator:
Passo 3
Como produto de exponenciais com a mesma base
equivale à exponencial da soma dos expoentes, tenho
Defino a constante
de modo que
Passo 4
Agora uso a regra de diferenciação da exponencial composta: se
é uma função diferenciável então
No nosso caso
, portanto
. Aplicando a fórmula:
Passo 5
Volto à expressão original de
. Como
, obtemos
onde
. Isso mostra que a taxa de variação de
é proporcional a
, com constante de proporcionalidade
.