Mostre que a taxa de variação de y=3^{2 x} 5^{7 x} é proporcional a y.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a taxa de variação de y=3^{2 x}5^{7 x} é proporcional a y.
Informações dadas:
  • A função é y=3^{2 x}5^{7 x}.
  • Quer-se mostrar que a derivada \dfrac{dy}{dx} é um múltiplo de y, isto é, que existe uma constante k tal que \dfrac{dy}{dx}=k\,y.

Passo 2

Vou transformar a expressão para uma forma que facilita a diferenciação. Uso a identidade geral
a^{u}=e^{u\ln a},
válida para a>0 e qualquer função u(x). Aplicando para cada fator:
3^{2x}=e^{2x\ln 3}, \qquad 5^{7x}=e^{7x\ln 5}.

Passo 3

Como produto de exponenciais com a mesma base e equivale à exponencial da soma dos expoentes, tenho
y=3^{2x}5^{7x}=e^{2x\ln 3}\,e^{7x\ln 5}=e^{(2\ln 3+7\ln 5)\,x}.
Defino a constante
k:=2\ln 3+7\ln 5,
de modo que
y=e^{k x}.

Passo 4

Agora uso a regra de diferenciação da exponencial composta: se u(x) é uma função diferenciável então
\frac{d}{dx}e^{u(x)}=u'(x)\,e^{u(x)}.
No nosso caso u(x)=k x, portanto u'(x)=k. Aplicando a fórmula:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}e^{k x}=k\,e^{k x}.

Passo 5

Volto à expressão original de y. Como e^{k x}=y, obtemos
\frac{dy}{dx}=k\,y,
onde k=2\ln 3+7\ln 5. Isso mostra que a taxa de variação de y é proporcional a y, com constante de proporcionalidade k.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=(2\ln 3+7\ln 5)\,y

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