Mostre que a taxa de variação de y=5000 e^{1,07 x} é proporcional a y.

Passo 1

O enunciado dá a função y=5000\,e^{1,07x} e pede para mostrar que a taxa de variação de y é proporcional a y. Ou seja, precisa-se mostrar que a derivada de y em relação a x (a taxa de variação) é igual a uma constante multiplicada por y.
Informações fornecidas:
  • A função é \;y=5000\,e^{1,07x}.
  • O que se quer provar: existe uma constante k tal que \dfrac{dy}{dx}=k\,y.

Passo 2

O que significa “taxa de variação” aqui e o que é "proporcional a y"?
  • “Taxa de variação” de y em relação a x é a derivada \dfrac{dy}{dx}. A derivada mede quanto y muda quando x muda.
  • "Proporcional a y" significa que existe uma constante k tal que \dfrac{dy}{dx}=k\,y. Nosso objetivo é encontrar esse k e mostrar a igualdade.

Passo 3

Lembrete sobre derivada de exponencial e regra da cadeia (explicado devagar):
  • A função exponencial básica tem a propriedade \dfrac{d}{du}e^{u}=e^{u}, ou seja, derivar e^{u} em relação a u devolve e^{u}.
  • Se u depende de x, ou seja u=u(x), então a derivada de e^{u(x)} em relação a x usa a regra da cadeia:
\frac{d}{dx} e^{u(x)} = u'(x)\,e^{u(x)}.
Aqui u'(x) é a derivada de u em relação a x. A ideia intuitiva: a exponencial se comporta igual, só que é preciso multiplicar pela taxa com que o expoente muda.

Passo 4

Aplique isso à nossa função y=5000\,e^{1,07x}.
  • Identifique u(x)=1,07x. Então u'(x)=\dfrac{d}{dx}(1,07x)=1,07.
  • A constante 5000 é um fator multiplicativo; a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.
Agora calcule passo a passo:
\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}\bigl(5000\,e^{1,07x}\bigr)=5000\cdot\frac{d}{dx}\bigl(e^{1,07x}\bigr).
Pela regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{1,07x}\bigr)=1,07\,e^{1,07x}.
Portanto
\frac{dy}{dx}=5000\cdot 1,07\,e^{1,07x}.

Passo 5

Reescreva a expressão anterior usando a própria y. Lembre que y=5000\,e^{1,07x}. Substituindo:
\frac{dy}{dx}=1,07\cdot\bigl(5000\,e^{1,07x}\bigr)=1,07\,y.
Isso mostra exatamente que a taxa de variação \dfrac{dy}{dx} é proporcional a y, com constante de proporcionalidade k=1,07.

Passo 6

Interpretação final e exemplo numérico rápido (para fixar):
  • A constante k=1,07 significa que, em qualquer ponto x, a razão de variação instantânea de y é 107\% do valor de y por unidade de x.
  • Exemplo: em x=0 temos y(0)=5000. A taxa de variação ali é \dfrac{dy}{dx}\big|_{x=0}=1,07\cdot 5000=5350.

Resposta

\dfrac{dy}{dx}=1,07\,y

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