Mostre que a taxa de variação de
é proporcional a
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para mostrar que a taxa de variação de
é proporcional a
. Ou seja, precisa-se mostrar que a derivada de
em relação a
(a taxa de variação) é igual a uma constante multiplicada por
.
Informações fornecidas:
- A função é
. - O que se quer provar: existe uma constante
tal que .
Passo 2
O que significa “taxa de variação” aqui e o que é "proporcional a
"?
- “Taxa de variação” de
em relação a é a derivada . A derivada mede quanto muda quando muda. - "Proporcional a
" significa que existe uma constante tal que . Nosso objetivo é encontrar esse e mostrar a igualdade.
Passo 3
Lembrete sobre derivada de exponencial e regra da cadeia (explicado devagar):
- A função exponencial básica tem a propriedade
, ou seja, derivar em relação a devolve . - Se
depende de , ou seja , então a derivada de em relação a usa a regra da cadeia:
Aqui
é a derivada de
em relação a
. A ideia intuitiva: a exponencial se comporta igual, só que é preciso multiplicar pela taxa com que o expoente muda.
Passo 4
Aplique isso à nossa função
.
- Identifique
. Então . - A constante
é um fator multiplicativo; a derivada de uma constante vezes uma função é a constante vezes a derivada da função.
Agora calcule passo a passo:
Pela regra da cadeia:
Portanto
Passo 5
Reescreva a expressão anterior usando a própria
. Lembre que
. Substituindo:
Isso mostra exatamente que a taxa de variação
é proporcional a
, com constante de proporcionalidade
.
Passo 6
Interpretação final e exemplo numérico rápido (para fixar):
- A constante
significa que, em qualquer ponto , a razão de variação instantânea de é do valor de por unidade de . - Exemplo: em
temos . A taxa de variação ali é .