Mostre que a função y=e^{a x} \operatorname{sen} b x satisfaz
y^{\prime \prime}-2 a y^{\prime}+\left(a^{2}+b^{2}\right) y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a função \,y = e^{a x}\operatorname{sen} b x\, (vou escrever \sin para a função seno) e pede para mostrar que ela satisfaz a igualdade
y^{\prime\prime}-2a\,y^{\prime}+\left(a^{2}+b^{2}\right)y=0.
Informações relevantes dadas:
  • A função é \,y = e^{a x}\sin b x.
  • a e b são constantes (presumivelmente reais).
  • A tarefa é provar que, ao calcular as derivadas primeiras e segundas de y e substituir na expressão acima, o resultado é 0.

Passo 2

Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas passo a passo):
  • Derivada da exponencial com coeficiente: \dfrac{d}{dx}e^{a x}=a\,e^{a x}. Aqui a é constante; a regra vem da cadeia: derivada do expoente ax é a.
  • Derivada do seno com argumento linear: \dfrac{d}{dx}\sin(bx)=b\cos(bx). Novamente, pela cadeia: derivada do argumento bx é b.
  • Derivada do cosseno: \dfrac{d}{dx}\cos(bx)=-b\sin(bx).
  • Regra do produto: se u(x) e v(x) são funções, \dfrac{d}{dx}[u v]=u'v+u v'. Vou aplicar isso porque y é produto de e^{ax} e \sin(bx).
Essas fórmulas são básicas e muito úteis para checar soluções de equações diferenciais substituindo derivadas.

Passo 3

Calculando a primeira derivada \,y':
Usando a regra do produto em y=e^{a x}\sin(bx):
y'=\frac{d}{dx}\big(e^{a x}\big)\sin(bx)+e^{a x}\frac{d}{dx}\big(\sin(bx)\big).
Substituindo as derivadas lembradas:
y'=a e^{a x}\sin(bx)+e^{a x}\big(b\cos(bx)\big).
Fatorando e^{a x}:
y' = e^{a x}\big(a\sin(bx)+b\cos(bx)\big).

Passo 4

Calculando a segunda derivada \,y'':
Novamente aplica-se a regra do produto a y'=e^{a x}\big(a\sin(bx)+b\cos(bx)\big). Seja u=e^{ax} e v=a\sin(bx)+b\cos(bx). Então
y''=u'v+u v' = a e^{a x}\big(a\sin(bx)+b\cos(bx)\big) + e^{a x}\frac{d}{dx}\big(a\sin(bx)+b\cos(bx)\big).
Calcule a derivada interna (lembre que a e b são constantes):
\frac{d}{dx}\big(a\sin(bx)+b\cos(bx)\big) = a\cdot b\cos(bx) + b\cdot(-b\sin(bx)) =ab\cos(bx)-b^{2}\sin(bx).
Agora junte tudo:
y''=e^{a x}\Big[ a\big(a\sin(bx)+b\cos(bx)\big) + \big(ab\cos(bx)-b^{2}\sin(bx)\big)\Big].
Distribuindo e somando termos semelhantes dentro dos colchetes:
y''=e^{a x}\Big[(a^{2}\sin(bx)-b^{2}\sin(bx)) + (ab\cos(bx)+ab\cos(bx))\Big].
y''=e^{a x}\Big[(a^{2}-b^{2})\sin(bx) + 2ab\cos(bx)\Big].

Passo 5

Substituindo y, y' e y'' na expressão \,y''-2a y'+(a^{2}+b^{2})y:
Escrevendo cada termo (todos têm o fator e^{a x}):
y'' = e^{a x}\Big[(a^{2}-b^{2})\sin(bx) + 2ab\cos(bx)\Big],
-2a y' = -2a\,e^{a x}\big(a\sin(bx)+b\cos(bx)\big) = e^{a x}\big(-2a^{2}\sin(bx)-2ab\cos(bx)\big),
(a^{2}+b^{2})y = (a^{2}+b^{2})\,e^{a x}\sin(bx) = e^{a x}\big((a^{2}+b^{2})\sin(bx)\big).
Somando os três (factor comum e^{a x} pode ser colocado fora):
y''-2a y'+(a^{2}+b^{2})y = e^{a x}\Big[(a^{2}-b^{2})\sin(bx)+2ab\cos(bx) -2a^{2}\sin(bx)-2ab\cos(bx)+(a^{2}+b^{2})\sin(bx)\Big].
Agora some os coeficientes de \sin(bx) e de \cos(bx) separadamente:
  • Coeficiente de \sin(bx):
(a^{2}-b^{2}) -2a^{2} + (a^{2}+b^{2}) = a^{2}-b^{2}-2a^{2}+a^{2}+b^{2} = 0.
  • Coeficiente de \cos(bx):
2ab - 2ab = 0.
Portanto o conteúdo dos colchetes é 0, e assim
y''-2a y'+(a^{2}+b^{2})y = e^{a x}\cdot 0 = 0.

Passo 6

Conclusão e dica rápida para a prova: mostramos que, ao derivar cuidadosamente usando produto e cadeia e ao substituir, todos os termos se cancelam e a expressão pedida é identicamente zero. Método prático para questões semelhantes: calcule y' e y'' fatorando e^{ax} sempre que possível; em muitas combinações exponencial vezes seno/cosseno os termos se organizam em pares que se cancelam. Se quiser, o mesmo procedimento funciona para y=e^{a x}\cos(bx) com as mudanças de sinais apropriadas nas derivadas.

Resposta

\,y''-2a y'+(a^{2}+b^{2})y=0\,

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