Mostre que a função
satisfaz
Passo 1
O enunciado nos dá a função
(vou escrever
para a função seno) e pede para mostrar que ela satisfaz a igualdade
Informações relevantes dadas:
- A função é
. -
e são constantes (presumivelmente reais). - A tarefa é provar que, ao calcular as derivadas primeiras e segundas de
e substituir na expressão acima, o resultado é .
Passo 2
Relembrando as regras de derivação que vamos usar (explicadas passo a passo):
- Derivada da exponencial com coeficiente:
. Aqui é constante; a regra vem da cadeia: derivada do expoente é . - Derivada do seno com argumento linear:
. Novamente, pela cadeia: derivada do argumento é . - Derivada do cosseno:
. - Regra do produto: se
e são funções, . Vou aplicar isso porque é produto de e .
Essas fórmulas são básicas e muito úteis para checar soluções de equações diferenciais substituindo derivadas.
Passo 3
Calculando a primeira derivada
:
Usando a regra do produto em :
Usando a regra do produto em
Substituindo as derivadas lembradas:
Fatorando
:
Passo 4
Calculando a segunda derivada
:
Novamente aplica-se a regra do produto a . Seja
e
. Então
Novamente aplica-se a regra do produto a
Calcule a derivada interna (lembre que
e
são constantes):
Agora junte tudo:
Distribuindo e somando termos semelhantes dentro dos colchetes:
Passo 5
Substituindo
,
e
na expressão
:
Escrevendo cada termo (todos têm o fator
):
Somando os três (factor comum
pode ser colocado fora):
Agora some os coeficientes de
e de
separadamente:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Portanto o conteúdo dos colchetes é
, e assim
Passo 6
Conclusão e dica rápida para a prova: mostramos que, ao derivar cuidadosamente usando produto e cadeia e ao substituir, todos os termos se cancelam e a expressão pedida é identicamente zero. Método prático para questões semelhantes: calcule
e
fatorando
sempre que possível; em muitas combinações exponencial vezes seno/cosseno os termos se organizam em pares que se cancelam. Se quiser, o mesmo procedimento funciona para
com as mudanças de sinais apropriadas nas derivadas.