Mostre que o termo sumi=1^N ri cdot Fi é proporcional a -nU, onde U= sumi=1^N V(ri) é a energia potencial total do sistema.
(Dica: Use a definição de derivada direcional para relacionar ri cdot Fi com V(r).)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a soma sumi=1^N ri cdot Fi é proporcional a -nU, onde U = sumi=1^N V(ri) é a energia potencial total do sistema. Aqui, estamos lidando com conceitos de mecânica clássica, especificamente com trabalho, força e energia potencial. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada direcional e entender como a força está relacionada com o potencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que a força Fi em cada partícula é relacionada ao potencial V(ri) pela equação:
Fi = -nabla V(ri)
Isso vem do fato de que a força é o negativo do gradiente da energia potencial. O gradiente nabla V nos dá a direção de maior aumento do potencial, então a força aponta na direção de menor aumento, ou seja, onde a energia potencial diminui.

Passo 3

Agora, vamos considerar a derivada direcional do potencial V(ri) na direção do vetor posição ri. A derivada direcional de V na direção de ri é dada por:
Dri V = ri cdot nabla V(ri)|ri|
Mas, como Fi = -nabla V(ri), podemos reescrever isso como:
Dri V = -ri cdot Fi|ri|

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por |ri|, temos:
ri cdot Fi = -|ri| Dri V
Isso relaciona o produto escalar entre a posição e a força com a derivada direcional do potencial.

Passo 5

Agora, vamos somar essa relação para todas as partículas de i = 1 até N:
sumi=1^N ri cdot Fi = -sumi=1^N |ri| Dri V
Lembrando que U = sumi=1^N V(ri), precisamos encontrar uma relação entre a soma dos produtos escalar e a energia potencial total.

Passo 6

Assumindo que o potencial V é homogêneo de grau n, ou seja, se escalarmos as posições por um fator lambda, o potencial escala como V(lambda r) = lambda^n V(r). Então, pela definição de função homogênea, pela fórmula de Euler para funções homogêneas, temos:
r cdot nabla V(r) = n V(r)

Passo 7

Aplicando essa relação ao nosso caso, onde Fi = -nabla V(ri), temos:
ri cdot Fi = -ri cdot nabla V(ri) = -n V(ri)

Passo 8

Finalmente, somando para todas as partículas:
sumi=1^N ri cdot Fi = -n sumi=1^N V(ri) = -n U

Resposta

Demonstramos que sumi=1^N ri cdot Fi é igual a -nU, ou seja:
sumi=1^N ri cdot Fi = -nU

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