Mostre que o termo
é proporcional a -nU, onde
é a energia potencial total do sistema.
(Dica: Use a definição de derivada direcional para relacionar
.)
(Dica: Use a definição de derivada direcional para relacionar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a soma
é proporcional a
, onde
é a energia potencial total do sistema. Aqui, estamos lidando com conceitos de mecânica clássica, especificamente com trabalho, força e energia potencial. Para resolver isso, vamos usar a definição de derivada direcional e entender como a força está relacionada com o potencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que a força
em cada partícula é relacionada ao potencial
pela equação:
Isso vem do fato de que a força é o negativo do gradiente da energia potencial. O gradiente
nos dá a direção de maior aumento do potencial, então a força aponta na direção de menor aumento, ou seja, onde a energia potencial diminui.
Passo 3
Agora, vamos considerar a derivada direcional do potencial
na direção do vetor posição
. A derivada direcional de
na direção de
é dada por:
Mas, como
, podemos reescrever isso como:
Passo 4
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Isso relaciona o produto escalar entre a posição e a força com a derivada direcional do potencial.
Passo 5
Agora, vamos somar essa relação para todas as partículas de
até
:
Lembrando que
, precisamos encontrar uma relação entre a soma dos produtos escalar e a energia potencial total.
Passo 6
Assumindo que o potencial
é homogêneo de grau
, ou seja, se escalarmos as posições por um fator
, o potencial escala como
. Então, pela definição de função homogênea, pela fórmula de Euler para funções homogêneas, temos:
Passo 7
Aplicando essa relação ao nosso caso, onde
, temos:
Passo 8
Finalmente, somando para todas as partículas:
Resposta
Demonstramos que
é igual a
, ou seja: