(a) Calcule valor de tau para a esfera;
(b) Discuta qualitativamente como a viscosidade eta afeta o tempo para atingir a velocidade limite.
(Resposta em segundos para т)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o valor de tau para uma esfera e discutir como a viscosidade eta afeta o tempo para atingir a velocidade limite. Isso envolve conceitos de dinâmica de fluidos, especialmente como objetos se movem em meio viscoso. Para resolver, vamos precisar conhecer a massa da esfera, o raio dela e a viscosidade do fluido onde a esfera está se movendo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é tau. Nesse contexto, tau representa o tempo característico que a esfera leva para atingir a velocidade limite quando está se movendo em um fluido viscoso.
A força de resistência que o fluido exerce sobre a esfera é dada pela Lei de Stokes, que diz que a força de arrasto Fd é:
Fd = 6 pi eta r v
Onde:
  • eta é a viscosidade do fluido,
  • r é o raio da esfera,
  • v é a velocidade da esfera.
Quando a esfera é liberada, ela acelera até que a força de arrasto iguala a força gravitacional, atingindo assim a velocidade limite. O tempo para atingir essa velocidade está relacionado com a inércia da esfera e a força de arrasto.

Passo 3

Para encontrar tau, podemos relacionar a massa m da esfera com a força de arrasto. A massa m é dada por:
m = 43 pi r^3 rho
Onde rho é a densidade da esfera.
O tempo característico tau pode ser definido como a razão entre a massa da esfera e a força de arrasto:
tau = m6 pi eta r
Substituindo a expressão de m:
tau = 43 pi r^3 rho6 pi eta r = 29 r^2 rhoeta

Passo 4

Então, a expressão final para tau fica:
tau = 29 r^2 rhoeta
Isso nos mostra que tau depende do raio da esfera ao quadrado, da densidade da esfera e inversamente da viscosidade do fluido.

Passo 5

Agora, sobre como a viscosidade eta afeta o tempo para atingir a velocidade limite: observando a fórmula de tau, percebemos que tau é inversamente proporcional a eta. Isso significa que quanto maior for a viscosidade do fluido, menor será o tempo tau, ou seja, a esfera atingirá a velocidade limite mais rapidamente. Por outro lado, em fluidos menos viscosos, tau aumenta, e a esfera leva mais tempo para atingir a velocidade terminal.

Resposta

O tempo característico é dado por:
tau = 29 r^2 rhoeta segundos

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