(a) Calcule valor de
para a esfera;
(b) Discuta qualitativamente como a viscosidade
afeta o tempo para atingir a velocidade limite.
(Resposta em segundos para т)
(b) Discuta qualitativamente como a viscosidade
(Resposta em segundos para т)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular o valor de
para uma esfera e discutir como a viscosidade
afeta o tempo para atingir a velocidade limite. Isso envolve conceitos de dinâmica de fluidos, especialmente como objetos se movem em meio viscoso. Para resolver, vamos precisar conhecer a massa da esfera, o raio dela e a viscosidade do fluido onde a esfera está se movendo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Nesse contexto,
representa o tempo característico que a esfera leva para atingir a velocidade limite quando está se movendo em um fluido viscoso.
A força de resistência que o fluido exerce sobre a esfera é dada pela Lei de Stokes, que diz que a força de arrasto
é:
Onde:
-
é a viscosidade do fluido, -
é o raio da esfera, -
é a velocidade da esfera.
Quando a esfera é liberada, ela acelera até que a força de arrasto iguala a força gravitacional, atingindo assim a velocidade limite. O tempo para atingir essa velocidade está relacionado com a inércia da esfera e a força de arrasto.
Passo 3
Para encontrar
, podemos relacionar a massa
da esfera com a força de arrasto. A massa
é dada por:
Onde
é a densidade da esfera.
O tempo característico
pode ser definido como a razão entre a massa da esfera e a força de arrasto:
Substituindo a expressão de
:
Passo 4
Então, a expressão final para
fica:
Isso nos mostra que
depende do raio da esfera ao quadrado, da densidade da esfera e inversamente da viscosidade do fluido.
Passo 5
Agora, sobre como a viscosidade
afeta o tempo para atingir a velocidade limite: observando a fórmula de
, percebemos que
é inversamente proporcional a
. Isso significa que quanto maior for a viscosidade do fluido, menor será o tempo
, ou seja, a esfera atingirá a velocidade limite mais rapidamente. Por outro lado, em fluidos menos viscosos,
aumenta, e a esfera leva mais tempo para atingir a velocidade terminal.
Resposta
O tempo característico é dado por: