Mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos mostrar a famosa identidade do produto vetorial em “produto misto”:
Queremos provar que
Queremos provar que
Isso envolve conceitos de produto vetorial (
), produto escalar (
) e a notação em componentes usando o símbolo de Levi-Civita (
) e o delta de Kronecker (
).
Passo 2
Primeiro, a gente lembra que, em componentes, todo produto vetorial
tem coordenadas
onde
é +1 se
for uma permutação par de
, –1 se for permutação ímpar, e 0 se algum índice se repetir.
Passo 3
Aplicamos isso a
. Em componentes:
Passo 4
Agora usamos a identidade do Levi-Civita contra si mesmo:
onde
se
e 0 caso contrário.
Passo 5
Substituindo essa relação na expressão do passo anterior:
Distribuindo:
Passo 6
As deltas “forçam” índices iguais, então:
- No primeiro termo,
. - No segundo,
.
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Resposta
Em forma vetorial, concluímos que