Mostre que A times(B+C)=B(A cdot C)-C(A cdot B).

Passo 1

Beleza, vamos mostrar a famosa identidade do produto vetorial em “produto misto”:
Queremos provar que
Atimes(BtimesC) ;=; B,(AcdotC) ;-; C,(AcdotB)
Isso envolve conceitos de produto vetorial ( ), produto escalar ( ) e a notação em componentes usando o símbolo de Levi-Civita ( ) e o delta de Kronecker ( ).

Passo 2

Primeiro, a gente lembra que, em componentes, todo produto vetorial (UtimesV)i ;=; varepsilon,i j k;Uj;Vk, tem coordenadas
onde é +1 se for uma permutação par de , –1 se for permutação ímpar, e 0 se algum índice se repetir.

Passo 3

Aplicamos isso a l[Atimes(BtimesC)r]i =varepsilon,i j k;Aj;(BtimesC)k =varepsilon,i j k;Aj;l(varepsilon,k p q,Bp,Cqr) . Em componentes:

Passo 4

Agora usamos a identidade do Levi-Civita contra si mesmo:
varepsilon,i j k,varepsilon,k p q =de
onde se e 0 caso contrário.

Passo 5

Substituindo essa relação na expressão do passo anterior:
(Atimes(BtimesC))i =l(de
Distribuindo:
= de

Passo 6

As deltas “forçam” índices iguais, então:
  • No primeiro termo, (Atimes(BtimesC))i = Bi,(AcdotC) ;-; Ci,(AcdotB) .
  • No segundo, .
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Resposta

Em forma vetorial, concluímos que
boxedAtimes(BtimesC) = B,(AcdotC) ;-; C,(AcdotB)

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