Mostre que para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que para todo
vale
1×1!+2×2!+3×3!+⋯+n×n!=(n+1)!−1
O conteúdo aqui é manipulação de fatoriais e soma telescópica: vamos reescrever cada termo para fazer uma soma que cancela.
Passo 2
A chave é notar que
Isso vem de expandir
e usar
.
Passo 3
Substituindo no somatório, temos
$$
\sum_{i=1}^{n}i\times i! = \sum_{i=1}^{n}\bigl((i+1)! - i!\bigr).
$$
Agora observe que isso é uma soma telescópica.
Passo 4
Ao escrever os termos, fica
Todos os fatoriais intermediários
se cancelam, sobrando
Passo 5
Como
, concluímos que
Passo 6
Portanto, a identidade está demonstrada por soma telescópica.