Mostre que para todo circ n in N, 1 times 1!+2 times 2!+3 times 3!+cdots+n times n!=(n+1)!-1.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que para todo ninN vale
1×1!+2×2!+3×3!+⋯+n×n!=(n+1)!−1
O conteúdo aqui é manipulação de fatoriais e soma telescópica: vamos reescrever cada termo para fazer uma soma que cancela.

Passo 2

A chave é notar que
itimes i!=(i+1-1)times i!=(i+1)!-i!
Isso vem de expandir i+1-1 e usar (i+1)times i!= (i+1)!.

Passo 3

Substituindo no somatório, temos
$$
\sum_{i=1}^{n}i\times i! = \sum_{i=1}^{n}\bigl((i+1)! - i!\bigr).
$$
Agora observe que isso é uma soma telescópica.

Passo 4

Ao escrever os termos, fica
(2!-1!)+(3!-2!)+(4!-3!)+cdots +l((n+1)!-n!r)
Todos os fatoriais intermediários 2!,3!,,n! se cancelam, sobrando
(n+1)! - 1!

Passo 5

Como 1! = 1, concluímos que
1times1!+2times2!+cdots+ntimes n!=(n+1)!-1

Passo 6

Portanto, a identidade está demonstrada por soma telescópica.

Resposta

(n+1)! - 1

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