Calcule o limite lim h 0 f(h+a)-f(a)h para a e f dados abaixo.
f(x)=raizx e a=2;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite que define a derivada de uma função em um ponto: com f(x)=√x e a=2, queremos limhto0f(a+h)-f(a)h. O conteúdo aqui é a definição de derivada via limite e o truque de racionalização para funções com raiz.

Passo 2

Escrevendo a expressão para nosso caso, temos
f(2+h)-f(2)h=raiz2+h-raiz2h
Para eliminar a raiz no numerador, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raiz2+h+raiz2:
raiz2+h-raiz2hcdotraiz2+h+raiz2raiz2+h+raiz2=(raiz2+h)^2-(raiz2)^2hl(raiz2+h+raiz2r)
No numerador aparece 2+h-2=h, então a expressão vira
hhl(raiz2+h+raiz2r)=1raiz2+h+raiz2
Agora basta tomar o limite quando hto0:
limhto01raiz2+h+raiz2=1raiz2 + raiz2=12raiz2

Resposta

12raiz2

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