1. Usando a Fórmula exponencial z=r e^{i \theta}, junto com as igualdades \cos (\theta)=\frac{e^{i \theta}+e^{-i \theta}}{2} e \operatorname{sen}(\theta)=\frac{e^{i \theta}-e^{-i \theta}}{2 i} obtenhas as fórmulas trigonométricas seguintes
\begin{aligned} \cos \left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) & =\cos \left(\theta_{1}\right) \cos \left(\theta_{2}\right)-\operatorname{sen}\left(\theta_{1}\right) \operatorname{sen}\left(\theta_{2}\right) \\\ \operatorname{sen}\left(\theta_{1}+\theta_{2}\right) & =\operatorname{sen}\left(\theta_{1}\right) \cos \left(\theta_{1}\right)+\operatorname{sen}\left(\theta_{2}\right) \cos \left(\theta_{2}\right) \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar as fórmulas de adição de ângulos
\cos(\theta_{1}+\theta_{2})=\cos(\theta_{1})\cos(\theta_{2})-\sin(\theta_{1})\sin(\theta_{2}),
\sin(\theta_{1}+\theta_{2})=\sin(\theta_{1})\cos(\theta_{2})+\cos(\theta_{1})\sin(\theta_{2}),
usando a forma exponencial z=r e^{i\theta} e as identidades
\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.

Passo 2

Começamos com a identidade básica de exponenciais:
e^{i\theta_{1}} \, e^{i\theta_{2}} = e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})}.
Pelo lado esquerdo, usando a forma trigonométrica de Euler,
e^{i\theta_{1}}=\cos(\theta_{1})+i\sin(\theta_{1}), \quad e^{i\theta_{2}}=\cos(\theta_{2})+i\sin(\theta_{2}).

Passo 3

Multiplicamos as duas expressões trigonométricas:
(\cos\theta_{1}+i\sin\theta_{1})(\cos\theta_{2}+i\sin\theta_{2}) =\cos\theta_{1}\cos\theta_{2} +i(\cos\theta_{1}\sin\theta_{2}+\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}) -\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}.
Ou seja,
e^{i\theta_{1}}\,e^{i\theta_{2}} =\bigl(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\bigr) +i\bigl(\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}+\cos\theta_{1}\sin\theta_{2}\bigr).

Passo 4

Pelo outro lado, a identidade de exponenciais diz que
e^{i(\theta_{1}+\theta_{2})} =\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2}).
Como as duas expressões são iguais, basta comparar parte real com parte real e parte imaginária com parte imaginária:
– Parte real:
\cos(\theta_{1}+\theta_{2}) =\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}.
– Parte imaginária:
\sin(\theta_{1}+\theta_{2}) =\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}+\cos\theta_{1}\sin\theta_{2}.

Resposta

\cos(\theta_{1}+\theta_{2}) =\cos(\theta_{1})\cos(\theta_{2}) -\sin(\theta_{1})\sin(\theta_{2}),
\sin(\theta_{1}+\theta_{2}) =\sin(\theta_{1})\cos(\theta_{2}) +\cos(\theta_{1})\sin(\theta_{2}).

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