Mostre que para todo inteiro n o número n^{2}+2 não é divisível por 4 .

Passo 1

O que o enunciado pede: provar que para todo inteiro n o número n^{2}+2 não é divisível por 4.
Informações dadas: n é um número inteiro qualquer. Não há mais dados numéricos.

Passo 2

Estratégia simples e básica (paridade): todo inteiro é ou par ou ímpar. Vou tratar os dois casos separadamente — n par e n ímpar — e mostrar em cada caso que n^{2}+2 não é múltiplo de 4. Antes disso, lembro o que significa par e ímpar:
  • Um inteiro n é par se existe inteiro k tal que n=2k.
  • Um inteiro n é ímpar se existe inteiro k tal que n=2k+1.

Passo 3

Caso n é par. Escreva n=2k com k\in\mathbb{Z}. Então
n^{2}+2=(2k)^{2}+2=4k^{2}+2=2\bigl(2k^{2}+1\bigr).
Aqui 2k^{2} é um número par, logo 2k^{2}+1 é ímpar. Assim n^{2}+2 é da forma 2\cdot(\text{ímpar})í. Um número da forma 2m é divisível por 4 apenas quando m é par; como m=2k^{2}+1 é ímpar, n^{2}+2 não é divisível por 4 neste caso — ele tem exatamente um fator 2, não dois.

Passo 4

Caso n é ímpar. Escreva n=2k+1 com k\in\mathbb{Z}. Então
n^{2}+2=(2k+1)^{2}+2=4k^{2}+4k+1+2=4\bigl(k^{2}+k\bigr)+3.
Como k^{2}+k é inteiro, n^{2}+2 é da forma 4m+3 para algum inteiro m. Isso significa que ao dividir n^{2}+2 por 4 o resto é 3, logo definitivamente não é divisível por 4.

Passo 5

Conclusão juntando os casos: qualquer inteiro n é ou par (Passo 3) ou ímpar (Passo 4). Em nenhum dos dois casos n^{2}+2 é múltiplo de 4. Portanto, para todo inteiro n, n^{2}+2 não é divisível por 4.

Passo 6

(Observação alternativa, rápida, usando congruências) Os quadrados módulo 4 só podem ser 0 ou 1 porque as classes mod 4 são 0,1,2,3 e os quadrados dessas são 0,1,0,1. Assim n^{2}\equiv 0 ou 1\pmod{4}, e daí n^{2}+2\equiv 2 ou 3\pmod{4}, nunca 0\pmod{4}. Mesmo resultado, outra visão.

Resposta

Para todo inteiro n, n^{2}+2 não é divisível por 4.

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