Mostre que para todo inteiro
o número
não é divisível por 4 .
Passo 1
O que o enunciado pede: provar que para todo inteiro
o número
não é divisível por
.
Informações dadas: é um número inteiro qualquer. Não há mais dados numéricos.
Informações dadas:
Passo 2
Estratégia simples e básica (paridade): todo inteiro é ou par ou ímpar. Vou tratar os dois casos separadamente —
par e
ímpar — e mostrar em cada caso que
não é múltiplo de
. Antes disso, lembro o que significa par e ímpar:
- Um inteiro
é par se existe inteiro tal que . - Um inteiro
é ímpar se existe inteiro tal que .
Passo 3
Caso
é par. Escreva
com
. Então
Aqui
é um número par, logo
é ímpar. Assim
é da forma
. Um número da forma
é divisível por
apenas quando
é par; como
é ímpar,
não é divisível por
neste caso — ele tem exatamente um fator
, não dois.
Passo 4
Caso
é ímpar. Escreva
com
. Então
Como
é inteiro,
é da forma
para algum inteiro
. Isso significa que ao dividir
por
o resto é
, logo definitivamente não é divisível por
.
Passo 5
Conclusão juntando os casos: qualquer inteiro
é ou par (Passo 3) ou ímpar (Passo 4). Em nenhum dos dois casos
é múltiplo de
. Portanto, para todo inteiro
,
não é divisível por
.
Passo 6
(Observação alternativa, rápida, usando congruências) Os quadrados módulo
só podem ser
ou
porque as classes mod
são
e os quadrados dessas são
. Assim
ou
, e daí
ou
, nunca
. Mesmo resultado, outra visão.
Resposta
Para todo inteiro
,
não é divisível por
.