Se c>0 divide a e b, então
m d c\left(\frac{a}{c}, \frac{b}{c}\right)=\frac{1}{c} m d c(a, b)

Passo 1

O enunciado dá que c>0 e que c divide a e b. O que é pedido é provar a igualdade
\mathrm{mdc}\!\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right)=\frac{1}{c}\,\mathrm{mdc}(a,b).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • c divide a e b, portanto \dfrac{a}{c} e \dfrac{b}{c} são inteiros.
  • A função \mathrm{mdc}(x,y) significa o máximo divisor comum de x e y.
    A partir daqui vamos provar a identidade mostrando que os divisores comuns de \dfrac{a}{c} e \dfrac{b}{c} estão em correspondência com os divisores comuns de a e b.

Passo 2

Defina
a'= \frac{a}{c},\qquad b'=\frac{b}{c},
que são inteiros por hipótese. Seja
d=\mathrm{mdc}(a,b).
Como c divide a e b, c é um divisor comum de a e b. Pelo caráter “máximo” do \mathrm{mdc}, qualquer divisor comum de a e b divide d; em particular c divide d. Logo existe um inteiro d' tal que
d= c\,d'.

Passo 3

Vou mostrar que d' é um divisor comum de a' e b'. Como d divide a e b, existem inteiros k e \ell tais que
a=d\,k,\qquad b=d\,\ell.
Dividindo essas igualdades por c (lembrando que a'=a/c e b'=b/c) obtemos
a' = d'\,k,\qquad b' = d'\,\ell.
Portanto d' divide a' e b'; ou seja, d' é um divisor comum de a' e b'.

Passo 4

Agora mostro que d' é o maior divisor comum de a' e b'. Seja t um divisor comum arbitrário de a' e b'. Então existem inteiros u e v tais que
a' = t\,u,\qquad b' = t\,v.
Multiplicando por c obtemos
a = c\,t\,u,\qquad b = c\,t\,v,
ou seja, c\,t divide a e b. Como d=\mathrm{mdc}(a,b) é o máximo divisor comum de a e b, segue que c\,t divide d. Mas d=c\,d', então c\,t divide c\,d'. Como c>0, podemos cancelar c da divisibilidade e obter t divide d'. Portanto qualquer divisor comum t de a' e b' divide d'.

Passo 5

Das etapas anteriores concluímos que d' é um divisor comum de a' e b' e que qualquer outro divisor comum de a' e b' divide d'. Essa é exatamente a propriedade que caracteriza o máximo divisor comum. Logo
\mathrm{mdc}(a',b') = d'.

Passo 6

Voltando às definições a'=a/c e b'=b/c e usando d=c\,d' com d'=\mathrm{mdc}(a',b'), obtemos
\mathrm{mdc}\!\left(\frac{a}{c},\frac{b}{c}\right)=d'=\frac{d}{c}=\frac{1}{c}\,\mathrm{mdc}(a,b).
Isto prova a igualdade desejada.

Resposta

\mathrm{mdc}\!\left(\dfrac{a}{c},\dfrac{b}{c}\right)=\dfrac{1}{c}\,\mathrm{mdc}(a,b)

Exercícios relacionados