Mostre que o produto de quatro inteiros consecutivos é divisível por 12 .

Passo 1

O enunciado pede para provar que o produto de quatro inteiros consecutivos é divisível por 12.
Informações dadas: temos quatro inteiros consecutivos (ou seja, quatro números inteiros seguidos, sem lacunas).
O que precisa ser mostrado: que o produto desses quatro números é múltiplo de \,12.

Passo 2

Para organizar, vou representar os quatro inteiros consecutivos por
n,\; n+1,\; n+2,\; n+3,
onde n é um número inteiro qualquer.
Definição útil: dizer que um inteiro m é divisível por d (ou que d divide m) significa que existe um inteiro k tal que m=d\cdot k.
Estratégia: como 12=3\cdot4 e \gcd(3,4)=1, basta mostrar que o produto é divisível por 3 e também por 4. Se um número é múltiplo de 3 e de 4 ao mesmo tempo, então é múltiplo de 12.

Passo 3

Provar que o produto é divisível por \,3.
Racional: entre três inteiros consecutivos sempre existe um múltiplo de 3 (porque os restos possíveis na divisão por 3 são 0,1,2 e percorrem-se em três passos). Como temos quatro inteiros consecutivos, esses três restos aparecem entre eles. Formalmente, considere os restos de n módulo 3:
  • Se n\equiv 0\pmod{3}, então n é múltiplo de 3.
  • Se n\equiv 1\pmod{3}, então n+2\equiv 0\pmod{3}, logo n+2 é múltiplo de 3.
  • Se n\equiv 2\pmod{3}, então n+1\equiv 0\pmod{3}, logo n+1 é múltiplo de 3.
Em todos os casos, pelo menos um dos fatores n,(n+1),(n+2),(n+3) é múltiplo de 3. Portanto o produto
n(n+1)(n+2)(n+3)
é divisível por \,3.

Passo 4

Provar que o produto é divisível por \,4. Vou usar a ideia dos pares de números pares. Entre quatro inteiros consecutivos há exatamente dois pares de paridade: dois deles são pares e dois são ímpares. Os pares aparecem em forma 2k e 2k+2 para algum k\in\mathbb{Z}. O produto desses dois pares é
(2k)\,(2k+2)=4\cdot k(k+1).
Como k(k+1) é inteiro, temos que (2k)(2k+2) é múltiplo de 4. Logo, entre os quatro fatores do produto original há dois pares cujo produto contém o fator 4, e portanto
n(n+1)(n+2)(n+3)
é divisível por \,4.
Observação alternativa (curta): numa sequência de quatro inteiros consecutivos necessariamente um deles é congruente a 0 módulo 4 (resíduos mod 4 são 0,1,2,3 e aparecem numa janela de comprimento 4), então já haveria um múltiplo de 4.

Passo 5

Conclusão final usando que \gcd(3,4)=1. Já mostramos que 3\mid n(n+1)(n+2)(n+3) e 4\mid n(n+1)(n+2)(n+3). Como 3 e 4 são coprimos, o menor múltiplo comum é 12, logo
12 \mid n(n+1)(n+2)(n+3).
Portanto o produto dos quatro inteiros consecutivos é divisível por 12.

Passo 6

Exemplo numérico rápido para intuir: escolha n=5. O produto é 5\cdot6\cdot7\cdot8=168. E 168\div12=14, confirmação prática de que funciona.

Resposta

O produto de quatro inteiros consecutivos é divisível por \,12.

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