Mostre que o produto de quatro inteiros consecutivos é divisível por 12 .
Passo 1
O enunciado pede para provar que o produto de quatro inteiros consecutivos é divisível por 12.
Informações dadas: temos quatro inteiros consecutivos (ou seja, quatro números inteiros seguidos, sem lacunas).
O que precisa ser mostrado: que o produto desses quatro números é múltiplo de .
Informações dadas: temos quatro inteiros consecutivos (ou seja, quatro números inteiros seguidos, sem lacunas).
O que precisa ser mostrado: que o produto desses quatro números é múltiplo de
Passo 2
Para organizar, vou representar os quatro inteiros consecutivos por
onde
é um número inteiro qualquer.
Definição útil: dizer que um inteiro é divisível por
(ou que
divide
) significa que existe um inteiro
tal que
.
Estratégia: como e
, basta mostrar que o produto é divisível por
e também por
. Se um número é múltiplo de
e de
ao mesmo tempo, então é múltiplo de
.
Definição útil: dizer que um inteiro
Estratégia: como
Passo 3
Provar que o produto é divisível por
.
Racional: entre três inteiros consecutivos sempre existe um múltiplo de (porque os restos possíveis na divisão por
são
e percorrem-se em três passos). Como temos quatro inteiros consecutivos, esses três restos aparecem entre eles. Formalmente, considere os restos de
módulo
:
Racional: entre três inteiros consecutivos sempre existe um múltiplo de
- Se
, então é múltiplo de . - Se
, então , logo é múltiplo de . - Se
, então , logo é múltiplo de .
Em todos os casos, pelo menos um dos fatores
é múltiplo de
. Portanto o produto
é divisível por
.
Passo 4
Provar que o produto é divisível por
. Vou usar a ideia dos pares de números pares. Entre quatro inteiros consecutivos há exatamente dois pares de paridade: dois deles são pares e dois são ímpares. Os pares aparecem em forma
e
para algum
. O produto desses dois pares é
Como
é inteiro, temos que
é múltiplo de
. Logo, entre os quatro fatores do produto original há dois pares cujo produto contém o fator
, e portanto
é divisível por
.
Observação alternativa (curta): numa sequência de quatro inteiros consecutivos necessariamente um deles é congruente a
módulo
(resíduos mod
são
e aparecem numa janela de comprimento
), então já haveria um múltiplo de
.
Passo 5
Conclusão final usando que
. Já mostramos que
e
. Como
e
são coprimos, o menor múltiplo comum é
, logo
Portanto o produto dos quatro inteiros consecutivos é divisível por
.
Passo 6
Exemplo numérico rápido para intuir: escolha
. O produto é
. E
, confirmação prática de que funciona.
Resposta
O produto de quatro inteiros consecutivos é divisível por
.