Mostre que todo membro da família de funções
é uma solução da equação diferencial
Encontre uma solução
que satisfaça
.
Passo 1
O enunciado dá a família de funções
com parâmetro
, e pede duas coisas:
- Mostrar que cada membro dessa família é solução da equação diferencial
- Encontrar a solução
dessa família que satisfaz a condição inicial .
Passo 2
Vamos calcular a derivada
da função dada. Para isso é conveniente usar a regra do quociente: se
com
e
diferenciáveis, então
Aqui tomamos
Derivando cada um (lembrando que a derivada de
é
):
Aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Simplifico o numerador do quociente que apareceu:
Os termos com
se cancelam, e os termos
somam:
Portanto obtemos a forma simples da derivada:
Passo 4
Agora calculemos o lado direito da equação diferencial proposta, isto é
, usando a expressão de
. Primeiro escrevo
:
Logo
Expando os quadrados no numerador:
Assim
Multiplicando por
,
Passo 5
Comparei as duas expressões encontradas:
São idênticas, portanto cada função da família
satisfaz a equação diferencial
desde que o denominador não seja zero (isto é, para
).
Passo 6
Agora imponho a condição inicial
. Substituo
na expressão da família:
Queremos
. Resolvo essa equação para
:
Passo 7
Substituindo
na expressão geral obtemos a solução particular que satisfaz
:
Simplificando multiplicando numerador e denominador por
,
Observação final: essa solução é válida enquanto o denominador for diferente de zero, ou seja para
. Tá tudo certo — boa! Continua firme nos estudos, você desenrolou essa verificação com calma.