Mostre que todo membro da família de funções
y=\frac{1+c e^{t}}{1-c e^{t}}
é uma solução da equação diferencial
y^{\prime}=\frac{1}{2}\left(y^{2}-1\right) .
Encontre uma solução y que satisfaça y(0)=2.

Passo 1

O enunciado dá a família de funções
y=\frac{1+c e^{t}}{1-c e^{t}}
com parâmetro c, e pede duas coisas:
  • Mostrar que cada membro dessa família é solução da equação diferencial
y^{\prime}=\frac{1}{2}\left(y^{2}-1\right).
  • Encontrar a solução y dessa família que satisfaz a condição inicial y(0)=2.

Passo 2

Vamos calcular a derivada y^{\prime} da função dada. Para isso é conveniente usar a regra do quociente: se y=\dfrac{u(t)}{v(t)} com u e v diferenciáveis, então
y'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}.
Aqui tomamos
u(t)=1+c e^{t},\qquad v(t)=1-c e^{t}.
Derivando cada um (lembrando que a derivada de e^{t} é e^{t}):
u'(t)=c e^{t},\qquad v'(t)=-c e^{t}.
Aplicando a regra do quociente:
y'=\frac{(c e^{t})(1-c e^{t})-(1+c e^{t})(-c e^{t})}{(1-c e^{t})^{2}}.

Passo 3

Simplifico o numerador do quociente que apareceu:
(c e^{t})(1-c e^{t})-(1+c e^{t})(-c e^{t}) = c e^{t}-c^{2}e^{2t} + c e^{t} + c^{2}e^{2t}.
Os termos com c^{2}e^{2t} se cancelam, e os termos c e^{t} somam:
c e^{t}-c^{2}e^{2t} + c e^{t} + c^{2}e^{2t}=2c e^{t}.
Portanto obtemos a forma simples da derivada:
y'=\frac{2c e^{t}}{(1-c e^{t})^{2}}.

Passo 4

Agora calculemos o lado direito da equação diferencial proposta, isto é \dfrac{1}{2}\bigl(y^{2}-1\bigr), usando a expressão de y. Primeiro escrevo y^{2}:
y^{2}=\frac{(1+c e^{t})^{2}}{(1-c e^{t})^{2}}.
Logo
y^{2}-1=\frac{(1+c e^{t})^{2}-(1-c e^{t})^{2}}{(1-c e^{t})^{2}}.
Expando os quadrados no numerador:
(1+c e^{t})^{2}-(1-c e^{t})^{2} = \bigl(1+2c e^{t}+c^{2}e^{2t}\bigr)-\bigl(1-2c e^{t}+c^{2}e^{2t}\bigr) =4c e^{t}.
Assim
y^{2}-1=\frac{4c e^{t}}{(1-c e^{t})^{2}}.
Multiplicando por \dfrac{1}{2},
\frac{1}{2}\bigl(y^{2}-1\bigr)=\frac{1}{2}\cdot\frac{4c e^{t}}{(1-c e^{t})^{2}}=\frac{2c e^{t}}{(1-c e^{t})^{2}}.

Passo 5

Comparei as duas expressões encontradas:
y'=\frac{2c e^{t}}{(1-c e^{t})^{2}} \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{2}\bigl(y^{2}-1\bigr)=\frac{2c e^{t}}{(1-c e^{t})^{2}}.
São idênticas, portanto cada função da família
y=\frac{1+c e^{t}}{1-c e^{t}}
satisfaz a equação diferencial
y^{\prime}=\frac{1}{2}\left(y^{2}-1\right),
desde que o denominador não seja zero (isto é, para 1-c e^{t}\neq 0).

Passo 6

Agora imponho a condição inicial y(0)=2. Substituo t=0 na expressão da família:
y(0)=\frac{1+c e^{0}}{1-c e^{0}}=\frac{1+c}{1-c}.
Queremos \dfrac{1+c}{1-c}=2. Resolvo essa equação para c:
1+c=2(1-c)\quad\Rightarrow\quad 1+c=2-2c\quad\Rightarrow\quad 3c=1\quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{3}.

Passo 7

Substituindo c=\dfrac{1}{3} na expressão geral obtemos a solução particular que satisfaz y(0)=2:
y(t)=\frac{1+\tfrac{1}{3}e^{t}}{1-\tfrac{1}{3}e^{t}}.
Simplificando multiplicando numerador e denominador por 3,
y(t)=\frac{3+e^{t}}{3-e^{t}}.
Observação final: essa solução é válida enquanto o denominador for diferente de zero, ou seja para t\neq\ln 3. Tá tudo certo — boa! Continua firme nos estudos, você desenrolou essa verificação com calma.

Resposta

\displaystyle y=\frac{1+c e^{t}}{1-c e^{t}} satisfaz \displaystyle y'=\frac{1}{2}(y^{2}-1).\n \displaystyle y(t)=\frac{3+e^{t}}{3-e^{t}} (correspondente a c=\tfrac{1}{3}, válida para t\neq\ln 3).

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