Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede:
- Foi dada a função
. - Pede-se o limite quando
tende a pela esquerda, isto é .
Informações relevantes que já podemos anotar sem resolver nada ainda:
- A expressão envolve o valor absoluto
, que se comporta de maneira diferente para e para . - Estamos interessados somente na aproximação por valores negativos de
(porque é ).
Passo 2
Entender o valor absoluto para
- Como estamos considerando
. Logo, nessa vizinhança vale
.]
Passo 3
Substituir
na expressão quando
.
- Para
,
- Simplificando:
Portanto, para
próximos de
pela esquerda, a expressão reduz-se a
.
Passo 4
Analisar o comportamento de
quando
.
- Se
é negativo e se aproxima de , então é um número muito pequeno negativo (por exemplo ), e é um número grande negativo (por exemplo ). - Logo intuitivamente
tende a quando .
Passo 5
Argumento formal (definição de divergência para
).
- Para mostrar que
quando significa: para qualquer existe tal que, se , então . - Dado
, defina . Observe que porque . - Se
então (note que é negativo), e multiplicando a desigualdade por (com cuidado de trocar o sinal quando necessário) obtemos . Assim a condição da definição é satisfeita. - Portanto
fica abaixo de qualquer para suficientemente próximo de pela esquerda, o que é a definição de limite que diverge para .
Passo 6
Conclusão interpretativa e observação sobre existência do limite.
- Como a expressão para
é e essa expressão diverge para quando , o limite não existe como número real finito. - Temos, porém, que a expressão tende a
(ou seja, diverge para ).