Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 0^{-}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)

Passo 1

O que o enunciado dá e pede:
  • Foi dada a função f(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{|x|}.
  • Pede-se o limite quando x tende a 0 pela esquerda, isto é \lim_{x\to 0^{-}}\left(\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{|x|}\right).
Informações relevantes que já podemos anotar sem resolver nada ainda:
  • A expressão envolve o valor absoluto |x|, que se comporta de maneira diferente para x>0 e para x<0.
  • Estamos interessados somente na aproximação por valores negativos de x (porque é x\to 0^{-}).

Passo 2

Entender o valor absoluto para x\) à esquerda de zero. - Por definição, para qualquer número real \(x\), \[|x|=\begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
  • Como estamos considerando x\to 0^{-}\], temos sempre \(x<0. Logo, nessa vizinhança vale |x|=-x.]

Passo 3

Substituir |x|=-x na expressão quando x<0.
  • Para x<0,
\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}=\frac{1}{x}-\frac{1}{-x}.
  • Simplificando:
\frac{1}{x}-\frac{1}{-x}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2}{x}.
Portanto, para x próximos de 0 pela esquerda, a expressão reduz-se a \dfrac{2}{x}.

Passo 4

Analisar o comportamento de \dfrac{2}{x} quando x\to 0^{-}.
  • Se x é negativo e se aproxima de 0, então x é um número muito pequeno negativo (por exemplo x=-0{,}001), e \dfrac{2}{x} é um número grande negativo (por exemplo \dfrac{2}{-0{,}001}=-2000).
  • Logo intuitivamente \dfrac{2}{x} tende a -\infty quando x\to 0^{-}.

Passo 5

Argumento formal (definição de divergência para -\infty).
  • Para mostrar que \dfrac{2}{x}\to -\infty quando x\to 0^{-} significa: para qualquer M<0 existe \delta>0 tal que, se 0>x>- \delta, então \dfrac{2}{x}<M.
  • Dado M<0, defina \delta=-\dfrac{2}{M}. Observe que \delta>0 porque M<0.
  • Se 0>x>-\delta então x>2/M (note que 2/M é negativo), e multiplicando a desigualdade x>2/M por 2/x (com cuidado de trocar o sinal quando necessário) obtemos \dfrac{2}{x}<M. Assim a condição da definição é satisfeita.
  • Portanto \dfrac{2}{x} fica abaixo de qualquer M<0 para x suficientemente próximo de 0 pela esquerda, o que é a definição de limite que diverge para -\infty.

Passo 6

Conclusão interpretativa e observação sobre existência do limite.
  • Como a expressão para x<0 é \dfrac{2}{x} e essa expressão diverge para -\infty quando x\to 0^{-}, o limite não existe como número real finito.
  • Temos, porém, que a expressão tende a -\infty (ou seja, diverge para -\infty).

Resposta

-\infty

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