Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
\lim _{x \rightarrow 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)

Passo 1

O enunciado pede para encontrar, quando existir, o limite
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right).
Informações relevantes fornecidas:
  • A aproximação é pelo lado direito, isto é, x\to0^{+} (logo estamos considerando x>0 suficientemente perto de 0).
  • A expressão envolve valor absoluto |x|, que muda de fórmula conforme o sinal de x.
  • Precisamos decidir se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.

Passo 2

Relembrando a definição do valor absoluto (para fixar a ideia):
|x|= \begin{cases} x, & \text{se } x\ge 0,\\[4pt] -x, & \text{se } x<0. \end{cases}
Como aqui a aproximação é pelo lado direito, estamos considerando valores de x positivos e próximos de 0. Portanto, para os x envolvidos na aproximação, vale |x|=x. É importante notar que a expressão original não está definida em x=0 (divisão por zero), mas para a ideia de limite isso não é problema: só precisamos dos valores para x>0 próximos de 0.]

Passo 3

Substituindo |x|=x na expressão para x>0, obtemos:
\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}=\frac{1}{x}-\frac{1}{x}=0.
Isso mostra que, para todo x>0 onde a expressão está definida, o valor da função é exatamente 0. Ou seja, a função é identicamente nula no intervalo (0,\infty).

Passo 4

Agora aplicamos a propriedade básica de limites: se uma função vale uma constante c em todo um intervalo contendo pontos arbitrariamente próximos de 0 pela direita, então
\lim_{x\to 0^{+}} f(x)=c.
No nosso caso f(x)=0 para todo x>0, logo
\lim_{x\to 0^{+}}\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}\right)=0.
Se quiser uma justificativa \varepsilon- \delta curta: para qualquer \varepsilon>0 escolha qualquer \delta>0; para 0<x<\delta tem-se |f(x)-0|=|0-0|=0<\varepsilon, o que confirma o limite.

Passo 5

Comentário adicional (útil para a prova): o limite pela esquerda é diferente. Para x<0 vale |x|=-x e então
\frac{1}{x}-\frac{1}{|x|}=\frac{1}{x}-\frac{1}{-x}=\frac{1}{x}+\frac{1}{x}=\frac{2}{x},
que tende para -\infty quando x\to0^{-}. Assim, o limite bilateral \lim_{x\to0} não existe, mas o limite à direita pedido no enunciado existe e é finito.

Resposta

0

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