Encontre, quando existir, o limite. Caso não exista, explique por quê.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar, quando existir, o limite
Informações relevantes fornecidas:
- A aproximação é pelo lado direito, isto é,
(logo estamos considerando suficientemente perto de ). - A expressão envolve valor absoluto
, que muda de fórmula conforme o sinal de . - Precisamos decidir se o limite existe e, em caso afirmativo, qual é o seu valor.
Passo 2
Relembrando a definição do valor absoluto (para fixar a ideia):
Como aqui a aproximação é pelo lado direito, estamos considerando valores de
positivos e próximos de
. Portanto, para os
envolvidos na aproximação, vale
. É importante notar que a expressão original não está definida em
(divisão por zero), mas para a ideia de limite isso não é problema: só precisamos dos valores para
próximos de
.]
Passo 3
Substituindo
na expressão para
, obtemos:
Isso mostra que, para todo
onde a expressão está definida, o valor da função é exatamente
. Ou seja, a função é identicamente nula no intervalo
.
Passo 4
Agora aplicamos a propriedade básica de limites: se uma função vale uma constante
em todo um intervalo contendo pontos arbitrariamente próximos de
pela direita, então
No nosso caso
para todo
, logo
Se quiser uma justificativa
-
curta: para qualquer
escolha qualquer
; para
tem-se
, o que confirma o limite.
Passo 5
Comentário adicional (útil para a prova): o limite pela esquerda é diferente. Para
vale
e então
que tende para
quando
. Assim, o limite bilateral
não existe, mas o limite à direita pedido no enunciado existe e é finito.