Mostre que, para todo n \in \mathbb{N},
19 \mid 3^{2 n+1}+4^{4 n+2}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, o número
3^{2n+1} + 4^{4n+2}
é divisível por 19. Vamos usar aritmética modular, ou seja, trabalhar com congruências módulo 19.

Passo 2

Observe que
3^{2n+1} = 3\cdot\bigl(3^2\bigr)^n = 3\cdot 9^n
e
4^{4n+2} = 4^2\cdot\bigl(4^4\bigr)^n = 16\cdot 256^n.

Passo 3

Reduzimos as bases módulo 19. Calculamos
3^2 = 9,
4^4 = 256 \equiv 256 - 19\cdot 13 = 256 - 247 = 9 \pmod{19}.
Portanto 256^n\equiv 9^n\pmod{19} e
4^{4n+2} = 16\cdot 256^n \equiv 16\cdot 9^n \pmod{19}.

Passo 4

Somando as duas partes em \bmod\,19, temos
3^{2n+1} + 4^{4n+2} \equiv 3\cdot 9^n + 16\cdot 9^n = \bigl(3+16\bigr)\,9^n = 19\cdot 9^n \equiv 0 \pmod{19}.

Resposta

Como 3^{2n+1} + 4^{4n+2}\equiv 0\pmod{19} para todo n\in\mathbb{N}, concluímos que 19 divide 3^{2n+1}+4^{4n+2}.

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