Mostre que, para todo n \in \mathbb{N},
53 \mid 7^{4 n}-2^{4 n}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, 53 divide a diferença
7^{4n}-2^{4n}.
O conteúdo envolvido é aritmética modular, em particular o uso de congruências e da propriedade de potências em módulo.

Passo 2

Calculamos primeiro 7^4 e reduzimos módulo 53:
7^4 = 2401.
Como
53 \times 45 = 2385,
temos
2401 \equiv 2401 - 2385 = 16 \pmod{53}.

Passo 3

Note que 16 = 2^4. Logo
7^4 \equiv 2^4 \pmod{53}.

Passo 4

Pela propriedade de potências em congruências, se a\equiv b\pmod m então a^n\equiv b^n\pmod m. Assim,
7^{4n} = (7^4)^n \equiv (2^4)^n = 2^{4n} \pmod{53}.
Isso significa que
53 \mid \bigl(7^{4n} - 2^{4n}\bigr).

Resposta

Para todo n\in\mathbb{N}, vale
53 \mid 7^{4n} - 2^{4n}.

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