Mostre que, para todo n \in \mathbb{N},
8 \mid 3^{2 n}-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para todo n\in\mathbb{N}, o número
3^{2n}-1
é múltiplo de 8. Vamos usar aritmética modular, ou seja, trabalhar com congruências módulo 8.

Passo 2

Calculamos primeiro 3^2 módulo 8:
3^2 = 9 \equiv 1 \pmod{8}.
Isso significa que 8 divide 9-1=8.

Passo 3

Elevamos a congruência anterior à n-ésima potência. Como se tem
3^2 \equiv 1 \pmod{8},
então
(3^2)^n \equiv 1^n \pmod{8} \quad\Longrightarrow\quad 3^{2n}\equiv 1\pmod{8}.

Passo 4

Da congruência 3^{2n}\equiv1\pmod{8} segue que
3^{2n}-1\equiv0\pmod{8},
ou seja, 8 divide 3^{2n}-1.

Resposta

Como desejado, para todo n\in\mathbb{N} vale
8 \mid 3^{2n}-1.

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